地特三等申論題
114年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下： | | 產量（千公斤） | 耕作面積（甲） | 氮肥用量（百公斤） | | --- | --- | --- | --- | | 樣本平均 | 10.68 | 6.78 | 6.64 | | 樣本變異數 | 10.30 | 4.18 | 6.24 | 相關係數： - （產量、耕作面積）：0.71 - （產量、氮肥用量）：0.52 - （耕作面積、氮肥用量）：0.68
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下： | | 產量（千公斤） | 耕作面積（甲） | 氮肥用量（百公斤） | | --- | --- | --- | --- | | 樣本平均 | 10.68 | 6.78 | 6.64 | | 樣本變異數 | 10.30 | 4.18 | 6.24 | 相關係數： - （產量、耕作面積）：0.71 - （產量、氮肥用量）：0.52 - （耕作面積、氮肥用量）：0.68
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
請寫出本模型下之變異數分析（ANOVA）表，並檢定耕作面積在 95%之信心水準下是否與產量有顯著之關係。請詳列虛無以及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
思路引導 VIP
本題要求建立單變數迴歸的 ANOVA 表並進行整體顯著性檢定（F 檢定）。
- 變異數分析表需要計算三個平方和：總平方和 ($SST$)、迴歸平方和 ($SSR$)、殘差平方和 ($SSE$)。其關係為 $SST = SSR + SSE$。
小題 (一)
今若以簡單線性迴歸模型
$$\text{產量} = a + b \times \text{耕作面積}$$
研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中 $a$ 與 $b$ 之估計值為何？本模式下之判定係數為何？（10 分）
$$\text{產量} = a + b \times \text{耕作面積}$$
研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中 $a$ 與 $b$ 之估計值為何？本模式下之判定係數為何？（10 分）
思路引導 VIP
本題主要考簡單線性迴歸模型（SLR）中斜率與截距的最小平方法（OLS）估計。解題關鍵在於連結「相關係數 $r$」、「樣本標準差 $s_X, s_Y$」與「斜率 $b$」的公式。答題步驟應為：
- 利用公式 $b = r_{XY} \times \frac{s_Y}{s_X}$ 計算斜率，注意題目給的是「變異數」，因此要先開根號求得「標準差」。
小題 (三)
若將氮肥用量加入以多元線性迴歸模型
$$\text{產量} = a + b_1 \times \text{耕作面積} + b_2 \times \text{氮肥用量}$$
分析結果得到 $b_1$ 及 $b_2$ 之估計值分別為 $\hat{b}_1 = 1.04$ 及 $\hat{b}_2 = 0.1$，請問該 $b_1$ 之估計值的解釋與(一)之簡單線性迴歸中 $b$ 的估計值之解釋有何異同？（5 分）
$$\text{產量} = a + b_1 \times \text{耕作面積} + b_2 \times \text{氮肥用量}$$
分析結果得到 $b_1$ 及 $b_2$ 之估計值分別為 $\hat{b}_1 = 1.04$ 及 $\hat{b}_2 = 0.1$，請問該 $b_1$ 之估計值的解釋與(一)之簡單線性迴歸中 $b$ 的估計值之解釋有何異同？（5 分）
思路引導 VIP
本題是計量經濟學/迴歸分析中非常經典的觀念題，考查「偏迴歸係數」（Partial Regression Coefficient）與「簡單迴歸係數」在經濟/實務意義上的本質差別。
- 相同點：皆代表當耕作面積每增加一單位時，產量的期望（平均）變化量。
小題 (四)
在(三)的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下：
| 變異來源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 迴歸 | 256.61 | 2 | 128.305 | 24.291 |
| 殘差 | 248.27 | 47 | 5.282 | |
| 總變異 | 504.88 | 49 | |
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
| 變異來源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 迴歸 | 256.61 | 2 | 128.305 | 24.291 |
| 殘差 | 248.27 | 47 | 5.282 | |
| 總變異 | 504.88 | 49 | |
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
思路引導 VIP
本題是偏 $F$ 檢定（Partial F test）或稱為「額外平方和檢定」（Extra Sum of Squares test）。
- 題目背景：先有了縮減模型（只有耕作面積），再加入氮肥用量形成完整模型。要檢定新加入的變數是否顯著。