地特三等
114年
[統計] 經濟學
第 22 題
假設有一廠商的生產函數為 $Y=10K^{0.5}N^{0.5}$，此廠商僱用 484 個工人，廠商在第一期時的資本存量為 50，假定市場利率為 10%，則第二期所需要的資本存量應為何？
- A 10,000
- B 20,000
- C 30,000
- D 40,000
思路引導 VIP
在考慮廠商如何決定下一期的生產規模時，如果我們已知勞動投入是固定的，那麼「每增加一單位資本所帶來的額外產出（邊際產出）」，與「為了取得並使用該資本所支付的資金成本（含利息）」，兩者之間應該維持什麼樣的比例關係，才能讓廠商達到利潤最大化的均衡狀態呢？
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你能精準抓到資本邊際產出（Marginal Product of Capital, MPK）與利率之間的連動關係，這代表你對新古典生產理論中的最優決策有著非常清晰的邏輯。 要解出這道題目，核心在於找出廠商達成利潤最大化時的最適資本條件。我們首先對生產函數 $Y=10K^{0.5}N^{0.5}$ 進行偏微分，推導出資本的邊際產出公式： $$MPK = \frac{\partial Y}{\partial K} = 10 \cdot 0.5 \cdot K^{-0.5} \cdot N^{0.5} = 5 \sqrt{\frac{N}{K}}$$
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最適資本存量決定
💡 廠商追求利潤最大化，使資本邊際產出等於資本使用成本。
🔗 最適資本存量求解路徑
- 1 一階求導 — 對生產函數求 MPK (∂Y/∂K)
- 2 建立等式 — 設定 MPK = 資本成本 (如 r+δ)
- 3 參數代入 — 代入已知工人數 N 與市場利率 r
- 4 求得 K 值 — 解方程式得到第二期所需資本 K
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🔄 延伸學習：延伸學習：考慮稅收政策對資本使用者成本的影響 (User Cost of Capital)。
