地特三等申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 二 題
📖 題組：
考慮二位元調變訊號 $s_1(t) = -s_2(t)$，能量均為 $E_b$，假設兩訊號之傳送機率均等，且此訊號於可加性高斯白雜訊（Additive White Gaussian Noise, AWGN）通道中傳送，AWGN 之功率頻譜密度（power spectral density, PSD）為 $N_0 / 2$。
考慮二位元調變訊號 $s_1(t) = -s_2(t)$，能量均為 $E_b$，假設兩訊號之傳送機率均等，且此訊號於可加性高斯白雜訊（Additive White Gaussian Noise, AWGN）通道中傳送，AWGN 之功率頻譜密度（power spectral density, PSD）為 $N_0 / 2$。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
以 $E_b$ 及 $N_0$ 表示上述決策準則之位元錯誤率（Bit error rate）。（10 分）
思路引導 VIP
這是一題要求標準推導的記憶/計算題。重點在於寫出錯誤機率的條件機率表示式 $P_e = P(r < 0 | s_1)$。雜訊 $n$ 投影在一維基底上的變異數為 $N_0/2$。接著利用高斯分佈將門檻值標準化（除以標準差），轉換為 Q 函數 $Q(x)$ 即大功告成。
小題 (一)
畫出此調變之星座圖，並依最佳決策準則繪出兩訊號之決策區間（Decision Region），以達到最低錯誤率。（10 分）
思路引導 VIP
從 $s_1(t) = -s_2(t)$ 看出這是極性相反的對極訊號（Antipodal Signaling，如 BPSK）。將訊號投影至正交基底後，兩個點落在 $\pm\sqrt{E_b}$。因為傳送機率均等且在 AWGN 下，最佳接收機（MAP）會退化成最大概似（ML）的最小距離決策。兩點的垂直平分線（中垂線）就是最佳決策邊界。