地特三等申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 三 題
📖 題組：
給定廣義平穩（Wide-Sense Stationary, WSS）隨機訊號 $X(t)$ 之自相關函數（Auto-correlation Function） $$R_X(\tau) = \begin{cases} \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} \left( 1 - \frac{|\tau|}{T} \right), & |\tau| < T \\ \frac{A^2}{4}, & |\tau| \ge T \end{cases}$$
給定廣義平穩（Wide-Sense Stationary, WSS）隨機訊號 $X(t)$ 之自相關函數（Auto-correlation Function） $$R_X(\tau) = \begin{cases} \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} \left( 1 - \frac{|\tau|}{T} \right), & |\tau| < T \\ \frac{A^2}{4}, & |\tau| \ge T \end{cases}$$
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
若將此隨機訊號進行希伯特轉換（Hilbert transform），得到的輸出為 $Y(t) = X(t) * \frac{1}{\pi t}$，求得為 $Y(t)$ 之功率頻譜密度函數。（10 分）
思路引導 VIP
這題考查對 LTI 系統響應 PSD 的理解。希伯特轉換的系統脈衝響應 $h(t) = 1/(\pi t)$ 對應頻域 $H(f) = -j \text{sgn}(f)$。輸出 PSD 為 $S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)$。要特別注意符號函數的平方在 $f \neq 0$ 時是 1，但在 $f=0$ 處是 0。這意味著原本 $S_X(f)$ 裡位於 $f=0$ 的直流 $\delta(f)$ 脈衝項會被完美濾除。
小題 (一)
$X(t)$ 是否包含直流成分，請證明此答案。若答案為是，請計算出直流成分之振幅。（10 分）
思路引導 VIP
看到 WSS 過程找直流成分，必須馬上聯想到自相關函數在延遲時間趨近無窮大（$\tau \to \infty$）時的特性。對於不含隱藏週期的 WSS 訊號，極限值 $\lim_{\tau \to \infty} R_X(\tau)$ 會等於期望值的平方 $\mu_X^2$。若極限值不為 0，則存在直流成分。
小題 (二)
計算此隨機訊號之功率頻譜密度（power spectral density, PSD）函數。（10 分）
思路引導 VIP
求 PSD 即為對自相關函數做傅立葉轉換（維納-辛欽定理）。策略上不要直接硬解分段積分，而是將 $R_X(\tau)$ 拆解為「常數項」加上「底寬為 $2T$ 的三角波項」。常數的轉換對應到頻率為 0 的狄拉克脈衝 $\delta(f)$；三角波的轉換則對應到 $\text{sinc}$ 函數的平方。