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普考申論題 114年 [統計] 統計學概要

第 一 題

📖 題組：
假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的下載次數（x）服從線性模型， y = α + βx + e ，其中 e 服從 N(0, σ²) 。若隨機取樣 12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： Σx = 6345, Σx² = 4050445, Σy = 39.64, Σy² = 152.7, Σxy = 24708，且判定係數為 0.9288。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

試求回歸方程式與 β 的 95%信賴區間。

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本題測驗簡單線性迴歸模型的基本計算能力。看到此題，應先著手計算各項離差平方和（SSxx, SSyy, SSxy）以求得迴歸係數。接著，利用題目特別提供的「判定係數（R²）」反推誤差平方和（SSE），進而取得標準誤，再搭配 t 分配求出斜率 β 的 95% 信賴區間。

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【解題關鍵】利用最小平方法（OLS）公式求出迴歸係數，並透過判定係數（R²）推導誤差變異數（MSE），代入信賴區間公式計算。 【解答】 計算：Step 1 整理基本統計量與離差平方和

小題 (二)

若一新款應用程式發布後半年內被下載 500 次，試求其生命週期的 95%預測區間。

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本題測驗簡單線性迴歸中「預測區間（Prediction Interval）」的計算。解題關鍵在於先求出各項離均差平方和以估計迴歸係數，再利用題目給定的判定係數求出殘差變異數（MSE），最後代入預測區間公式並查 t 分配表即可求解。

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【解題思路】利用最小平方法估計出迴歸直線方程式，再利用判定係數計算 MSE，最後代入預測區間公式 $ \hat{y}0 \pm t{\alpha/2, n-2} \cdot s \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{S_{xx}}} $ 求解。 【詳解】 已知條件整理：

📜 參考法條

附表二：t 表 附表四：F 表 附表五：F 表

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