普考申論題
114年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的下載次數（x）服從線性模型， y = α + βx + e ，其中 e 服從 N(0, σ²) 。若隨機取樣 12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： Σx = 6345, Σx² = 4050445, Σy = 39.64, Σy² = 152.7, Σxy = 24708，且判定係數為 0.9288。（每小題 10 分，共 20 分）
假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的下載次數（x）服從線性模型， y = α + βx + e ，其中 e 服從 N(0, σ²) 。若隨機取樣 12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： Σx = 6345, Σx² = 4050445, Σy = 39.64, Σy² = 152.7, Σxy = 24708，且判定係數為 0.9288。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試求回歸方程式與 β 的 95%信賴區間。
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸模型的基本計算能力。看到此題，應先著手計算各項離差平方和（SSxx, SSyy, SSxy）以求得迴歸係數。接著，利用題目特別提供的「判定係數（R²）」反推誤差平方和（SSE），進而取得標準誤，再搭配 t 分配求出斜率 β 的 95% 信賴區間。
小題 (二)
若一新款應用程式發布後半年內被下載 500 次，試求其生命週期的 95%預測區間。
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸中「預測區間（Prediction Interval）」的計算。解題關鍵在於先求出各項離均差平方和以估計迴歸係數，再利用題目給定的判定係數求出殘差變異數（MSE），最後代入預測區間公式並查 t 分配表即可求解。
📜 參考法條
附表二：t 表
附表四：F 表
附表五：F 表
簡單線性回歸分析
💡 掌握最小平方法估計、模型配適度及區間估計計算。
| 比較維度 | 信賴區間 (CI) | VS | 預測區間 (PI) |
|---|---|---|---|
| 估計對象 | 特定x下的y平均值 | — | 特定x下的單一y值 |
| 變異來源 | 僅包含參數估計誤差 | — | 參數誤差與隨機誤差 |
| 區間寬度 | 較窄 | — | 較寬 (多一項s²) |
💬預測區間考慮了個體的隨機波動，故其不確定性大於平均值的信賴區間。
