普考申論題
114年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
二、假設h[n]是線性非時變（linear time-invariant, LTI）離散時間系統（discrete-time system）的脈衝響應（impulse response），且x[n]為該線性非時變系統的輸入訊號、 y[n]為輸出訊號。一個穩定的（stable）線性非時變系統的定義如下：如果輸入訊號x[n]的值是有限的（bounded-input, BI），則該線性非時變系統的輸出訊號 y[n]的值也是有限的（bounded-output, BO）。假設 h[n] = \alpha^n u[n]，\alpha是常數，
二、假設h[n]是線性非時變（linear time-invariant, LTI）離散時間系統（discrete-time system）的脈衝響應（impulse response），且x[n]為該線性非時變系統的輸入訊號、 y[n]為輸出訊號。一個穩定的（stable）線性非時變系統的定義如下：如果輸入訊號x[n]的值是有限的（bounded-input, BI），則該線性非時變系統的輸出訊號 y[n]的值也是有限的（bounded-output, BO）。假設 h[n] = \alpha^n u[n]，\alpha是常數，
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請問該線性非時變系統是一個 BIBO 穩定系統的條件為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到「LTI系統的 BIBO 穩定性」，應直覺聯想到其充要條件為脈衝響應 $h[n]$ 必須滿足「絕對可加總（absolutely summable）」：$\sum |h[n]| < \infty$。將給定的 $h[n] = \alpha^n u[n]$ 代入，即可利用無窮等比級數的收斂條件找出常數 $\alpha$ 的範圍。
小題 (二)
承，如果輸入訊號 x[n] = $\beta^n u$[n]，$\beta$是常數，請求輸出訊號 y[n]。（5 分）
思路引導 VIP
看到求離散LTI系統的輸出，應直覺想到使用「摺積和（Convolution sum）」。解題關鍵在於利用單位步階函數 u[n] 正確找出連加（Sigma）的上下限，最後套用等比級數公式時，務必分 α≠β 與 α=β 兩種情況討論以求解答嚴謹。
小題 (三)
承 ， 如 果 輸 入 訊 號 為 x[n] = e^{j$\omega n}$， 請 證 明 其 輸 出 訊 號 y[n] = e^{j$\omega n}H(e^{j\omega})$，其中 H(e^{j$\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h$[n]e^{-j$\omega n}$。（5 分）
思路引導 VIP
看到 LTI 系統求特定輸入的輸出，第一步必定是列出「摺積和（Convolution Sum）」公式。將複指數訊號 x[n] = e^{j$\omega n}$代入摺積公式後，利用指數律拆解，並把與求和變數無關的 e^{j$\omega n}$提出，剩下的無窮級數即為頻率響應定義，即可輕鬆得證。
小題 (四)
承，如果輸入訊號 x[n] = \cos($\frac{2\pi n}{N})$，請求輸出訊號 y[n]。（10 分）
思路引導 VIP
這是一題經典的「LTI 系統對弦波訊號的響應」問題。解題關鍵在於利用 LTI 系統的「特徵函數（Eigenfunction）」性質：穩定的系統對正弦波的響應，只需將輸入乘上系統在該頻率點的頻率響應 $H(e^{j\omega})$。建議先求出 DTFT 頻率響應，再利用取實部的數學技巧化簡求出閉式解。