普考申論題
114年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
三、假設一理想的低通濾波器（low-pass filter）的頻率響應（frequency response）如下所示： H_{LP}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 1, & |\omega| \le \omega_c \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} ， 假設 h_{LP}[n] 為該低通濾波器 H_{LP}(e^{j\omega}) 的脈衝響應（impulse response），請回答以下的問題：（每小題 5 分，共 20 分）
三、假設一理想的低通濾波器（low-pass filter）的頻率響應（frequency response）如下所示： H_{LP}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 1, & |\omega| \le \omega_c \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} ， 假設 h_{LP}[n] 為該低通濾波器 H_{LP}(e^{j\omega}) 的脈衝響應（impulse response），請回答以下的問題：（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請問 h_{LP}[n] 是否為因果系統（causal system）？為什麼？
思路引導 VIP
看到此題，首先回憶「因果系統」在時域的定義：脈衝響應必須滿足 h[n] = 0 對於所有 n < 0。接著，利用離散時間逆傅立葉轉換（IDTFT）求出理想低通濾波器的脈衝響應 h_{LP}[n]（即 sinc 函數），觀察其在 n < 0 是否存在非零值即可作答。
小題 (二)
若 h[n] = (-1)^n h_{LP}[n]，請問 h[n] 為何種濾波器？
思路引導 VIP
看到在離散時間域中訊號乘上 (-1)^n，應立刻聯想到等價於乘上 e^{jπn}。利用離散時間傅立葉轉換（DTFT）的「頻率平移性質」，可知這會將原頻譜平移 π。在離散時間系統中，ω = π 代表最高頻率，將原本集中在低頻的頻譜平移至最高頻處，即可判斷出新的濾波器類型。
小題 (三)
若 h[n] = 2cos(2$\omega_c n) h_{LP}$[n]，請問 h[n] 為何種濾波器？
思路引導 VIP
看到時間域訊號乘以餘弦函數，應立刻聯想到傅立葉轉換的「頻率位移（調變）性質」。先利用尤拉公式將餘弦展開為自然指數，再觀察頻域中低通頻譜向左右平移的結果，分析出新的通帶範圍，即可判斷出濾波器的類型。
小題 (四)
若 h[n] = \begin{cases} h_{LP}[n/2], & n $\text{ even} \ 0,$& n $\text{ odd} \end{cases}$，請問 h[n] 為何種濾波器？
思路引導 VIP
看到將離散訊號間隔補零（Upsampling / 插值）的操作，直覺要想到頻域會發生「頻譜壓縮」與「影像頻譜（Imaging）」現象。解題關鍵在於利用離散時間傅立葉轉換（DTFT）的定義式，推導出新濾波器 H(e^{jω}) 與原低通濾波器 H_LP(e^{jω}) 的頻率縮放關係，進而判斷其通帶分佈。
理想濾波器特性與變換
💡 理解理想低通濾波器的時頻轉換關係及其常見之頻譜位移特性。
| 比較維度 | 原始低通濾波器 (LPF) | VS | 變換後濾波器 |
|---|---|---|---|
| 乘上 (-1)^n | 中心點在 0 | — | 中心點移至 π (高通) |
| 乘上 2cos(w0n) | 低通型態 | — | 中心點移至 w0 (帶通) |
| 時域擴張 (n/2) | 截止頻率 wc | — | 頻譜壓縮，截止頻率 wc/2 |
| 因果性 | 非因果 (Non-causal) | — | 視變換方式，通常仍非因果 |
💬透過時域的乘法或縮放運算，可靈活改變濾波器的通帶位置與寬度。
