地特四等申論題 106年 [電信工程] 通信系統概要

第一題

📖 題組：
假設有一信號x(t) = cos(2πt)。

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

若其通過一線性非時變（LTI）系統，則可不可能產生輸出信號 y(t) = [cos(2πt)]^2 ？請清楚解釋原因為何。（10 分）

看到這題，首先要聯想到線性非時變（LTI）系統的核心特性：「只會改變輸入信號的振幅與相位，絕不產生新的頻率成分」。接著，利用三角恆等式展開輸出信號 y(t)，檢查是否出現了輸入信號沒有的新頻率，即可得出結論。

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【解題思路】利用線性非時變系統（LTI）不產生新頻率成分的特性進行檢驗。【詳解】已知：

求 y(t) = [cos(2πt)]^2 的傅立葉轉換（Fourier Transform）。（10 分）

遇到三角函數的高次方項求傅立葉轉換，第一步應想到利用「三角恆等式（降階公式）」將平方項展開為一次方的線性組合。接著套用常數與餘弦函數的標準傅立葉轉換公式，並利用轉換的線性性質即可輕鬆求解。

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【解題思路】利用三角恆等式（降階公式）將信號展開後，再套用傅立葉轉換的線性性質與基本公式求解。【詳解】已知：信號 $y(t) = [\cos(2\pi t)]^2$