地特四等申論題
105年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
四、考慮線性非時變系統其脈衝響應（impulse response）為 h(t)，其輸入 x(t) 與輸出 y(t) 的關係可以線性旋積（Linear convolution）公式表示：y(t) = x(t) * h(t)。 (一) 試證明 Y(ω) = X(ω)H(ω)，Y(ω) 為 y(t) 的傅立葉轉換（Fourier transform）。（8 分） (二) 若假設 x(t) 與 y(t) 皆為波段穿越信號（band-pass signal）而 h(t) 為波段穿越系統，如果 x_l(t) 與 h_l(t) 分別為其對應的複數低通等效訊號，試以低通等效訊號來實現求得 y(t)？（7 分）
四、考慮線性非時變系統其脈衝響應（impulse response）為 h(t)，其輸入 x(t) 與輸出 y(t) 的關係可以線性旋積（Linear convolution）公式表示：y(t) = x(t) * h(t)。 (一) 試證明 Y(ω) = X(ω)H(ω)，Y(ω) 為 y(t) 的傅立葉轉換（Fourier transform）。（8 分） (二) 若假設 x(t) 與 y(t) 皆為波段穿越信號（band-pass signal）而 h(t) 為波段穿越系統，如果 x_l(t) 與 h_l(t) 分別為其對應的複數低通等效訊號，試以低通等效訊號來實現求得 y(t)？（7 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試證明 Y(ω) = X(ω)H(ω)，Y(ω) 為 y(t) 的傅立葉轉換（Fourier transform）。（8 分）
思路引導 VIP
看到時域旋積對應頻域相乘的證明題，首先寫出線性旋積與傅立葉轉換的積分定義式。接著將旋積代入傅立葉轉換公式中，透過交換積分順序與變數代換（令 u = t - τ），即可將雙重積分分離為兩個獨立的傅立葉轉換相乘而順利得證。
小題 (二)
若假設 x(t) 與 y(t) 皆為波段穿越信號（band-pass signal）而 h(t) 為波段穿越系統，如果 x_l(t) 與 h_l(t) 分別為其對應的複數低通等效訊號，試以低通等效訊號來實現求得 y(t)？（7 分）
思路引導 VIP
看到帶通信號（波段穿越信號）與低通等效訊號的關係，應立刻聯想其標準定義式 $v(t) = \text{Re}{v_l(t)e^{j\omega_c t}}$。透過頻域轉換展開，可以證明兩帶通訊號的旋積等同於其低通等效訊號旋積的二分之一，最後再乘上載波取實部即可求得輸出 $y(t)$。