高考申論題
114年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 一 題
一、某公司想了解其某一產品的品質特性具有常態分布 X～Normal(μ,1)。設定品質特性的規格為 8 ≤ X ≤ 10，若符合此品質特性規格的產品可獲得 C0 的利潤。然而，若 X < 8，則利潤為-C1；若 X > 10，則利潤為-C2。求使預期利潤最大化的 X 值為何？（25 分）
📝 此題為申論題
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看到此題應立刻聯想到建立「預期利潤函數（Expected Profit Function）」模型。利用常態分配的機率密度函數（PDF）與累積分配函數（CDF）表示各規格區間的發生機率，再對製程平均值 μ 求一階導數並令其為零，即可求得使利潤最大化的最佳製程目標值。
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【解題思路】建立預期利潤函數模型，利用常態分配的性質求各區間機率，並對製程平均值 μ 求導函數令其為零，以求取利潤極大化之 μ 值。 【詳解】 已知：
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常態分配預期利潤極大化
💡 利用期望值函數與微積分尋找常態分配之最佳目標平均數。
🔗 最佳製程平均數求解路徑
- 1 建模階段 — 依據規格區間 8, 10 寫出期望利潤算式
- 2 標準化階段 — 將 P(X) 轉換為標準常態 Φ((k-μ)/σ)
- 3 最優化階段 — 對 μ 求導並利用 PDF φ(z) 尋找駐點
- 4 解析階段 — 取 ln 消去指數項，解出 μ 之解析解
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🔄 延伸學習：延伸學習：當損失成本 C1 = C2 時，最佳 μ 即為規格中點 9。
