第 三 題

這一題是在考製程發生變異後，管制圖偵測出異常的機率（即 1 - β，檢定力）。題目問「樣本平均值未能符合管制界限之機率」，表示新抽樣的 X-bar 落在原管制界限（UCL=202, LCL=196）之外的機率。步驟：1. 確定新的製程參數：μ_new = 198，σ_new = 2 * (1 + 30%) = 2.6。2. 計算新的樣本平均值的標準誤：SE_new = σ_new / √n = 2.6 / 2 = 1.3。3. 將原本的 UCL 和 LCL 以新的分布進行標準化（Z = (CL - μ_new) / SE_new）。4. 查表計算落於界線外的機率。

看到管制圖的上下限，首先要聯想到 X-bar 管制圖的公式：UCL = μ + 3(σ/√n)，LCL = μ - 3(σ/√n)。題目已經給了 n=4，UCL=202.0，LCL=196.0。利用聯立方程式，兩式相加除以 2 即可得到製程平均值 μ；兩式相減可得 6*(σ/√n)，代入 n=4 後即可解出母體標準差 σ。這是送分題，算式要寫清楚。

本題計算製程的「不良率」。首先明確「規格界限（Specification Limits, SL）」和「管制界限（Control Limits, CL）」的區別。規格是客戶要求的，USL = 205，LSL = 195。不良率是指「單一產品」重量落在規格之外的機率。利用上一小題求得的製程參數：μ = 199，σ = 2。將 USL 和 LSL 轉換為標準常態分配的 Z 值（Z = (X - μ) / σ），然後查附錄的「標準常態累加機率值表」，計算 P(X > 205) + P(X < 195) 即可得出不良率。