第 三 題

本題主要測驗製程平均值與變異數發生偏移時，$\bar{X}$ 管制圖發出失控警報的機率計算（即超出管制界限的機率）。解題關鍵在於先根據原數據計算出原本的管制界限（UCL, LCL）與原製程標準差（$\sigma$），接著套用變動後的新平均數與新標準差，重新計算標準化 $Z$ 值並查表求出對應的機率。

考生看到此題應先寫出 $C_p$ 與 $C_{pk}$ 的標準數學定義公式。接著，將『製程平均值在規格中心』此一文字敘述轉換為數學條件（$\mu = \frac{USL + LSL}{2}$），代入 $C_{pk}$ 公式中進行化簡，即可嚴謹證明兩者相等的關係。

看到這題，首先要寫出 Cp（潛在製程能力）與 Cpk（實際製程能力）的數學定義公式。接著，引入規格中心 m 與偏移係數 k，推導出 Cpk = Cp(1-k) 的關係式，最後根據 k > 0 的條件，說明當平均值不在中心時兩者的數學關係與實務意涵。