第 三 題

本題考查管制圖的「型 II 錯誤（Type II error, β 風險）」概念。當製程平均值發生偏移時，判斷製程『仍處於統計管制下』的機率，即為新的樣本平均數 $\bar{X}$ 依然落在原來的 $\bar{X}$ 管制界限內的機率。解題時需先求出原管制界限與樣本平均數的標準差，再將偏移後的新平均值代入，透過標準化公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_1}{\sigma_{\bar{X}}}$ 轉換，最後以標準常態分配的累積密度函數 $\Phi$ 呈現即可。

看到本題要求估計「製程標準差 (σ)」，應立刻聯想到統計製程管制 (SPC) 中利用樣本標準差平均值 (s̄) 計算不偏估計量的公式。將已知資訊 s̄ 與管制圖常數 C4 直接代入公式 σ̂ = s̄ / C4 即可求解。

看到要求計算 X-bar 與 S 管制圖界限，應立即聯想到對應的 3-sigma 管制圖常數公式。由於題目已給定總平均 X-double-bar、平均標準差 s-bar 及相關常數（A3, B3, B4），直接代入 X-bar 圖界限公式（X-double-bar ± A3s-bar）與 S 圖界限公式（B4s-bar, B3*s-bar）即可求得。