高考申論題
105年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 null 題
📖 題組：
三、令 X 為某電子零件的厚度。現在給定一組所謂常態 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為 X 之期望值，σX^2 為 X 之變異數，X̄ = Σ(i=1 to n) Xi / n 為 μX 之估計量，E(X̄) = μX，se(X̄) = √var(X̄) 為 X̄ 之標準誤。 如果使用 Shewhart Chart X̄ 品管圖：上下限分別為 μX + k*se(X̄) 與 μX - k*se(X̄)，其中，當製程正常時 μX = μ0，σX = 1。將正確 average run length（ARL）填入表 2 之空格(a), (b), (c), (d)，並列出計算式。（(a), (b), (c), (d)之答案請作答於試卷上）其中，μX = μ0 + δ*σX, σX = 1，查附表：標準常態分配表。（每一答案 5 分，共 20 分） 表 2：ARL Values. δ | k = 2 | k = 3 0 | (a) | (b) 1 | (c) | (d)
三、令 X 為某電子零件的厚度。現在給定一組所謂常態 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為 X 之期望值，σX^2 為 X 之變異數，X̄ = Σ(i=1 to n) Xi / n 為 μX 之估計量，E(X̄) = μX，se(X̄) = √var(X̄) 為 X̄ 之標準誤。 如果使用 Shewhart Chart X̄ 品管圖：上下限分別為 μX + k*se(X̄) 與 μX - k*se(X̄)，其中，當製程正常時 μX = μ0，σX = 1。將正確 average run length（ARL）填入表 2 之空格(a), (b), (c), (d)，並列出計算式。（(a), (b), (c), (d)之答案請作答於試卷上）其中，μX = μ0 + δ*σX, σX = 1，查附表：標準常態分配表。（每一答案 5 分，共 20 分） 表 2：ARL Values. δ | k = 2 | k = 3 0 | (a) | (b) 1 | (c) | (d)
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📝 此題為申論題
📜 參考法條
標準常態分配表（見附表）
思路引導 VIP
看到 ARL（平均連續抽樣次數）先想到核心公式 ARL = 1/p，其中 p 為單一抽樣點落於管制界限外的機率。解題關鍵在於先寫出管制圖的上下限，將平移後的平均值代入常態分配進行標準化（Z轉換），並留意題目未給定樣本數 n 時，按常規將 n 設為 1，最後務必使用題目所附的標準常態分配表數值進行計算（不可憑記憶帶入）。
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【解題關鍵】平均連串長度（ARL）公式為 $\text{ARL} = 1/p$，其中失控機率 $p = P(\bar{X} > \text{UCL}) + P(\bar{X} < \text{LCL})$，需利用標準常態分配表求得。 【解答】 計算：
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