第 一 題
利用平均值（\(\bar{X}\)）和 R 管制圖來管制某產品之製程。假設此產品之品質特性符合常態分配，且製程處於穩定狀態，以樣本大小n = 9抽樣求得 \(\bar{\bar{X}}\) = 199.8，\(\bar{R}\) = 2.9。n = 9查表可得以下各係數：A2= 0.337，A3= 1.032，A = 1.000，B3= 0.239，B4= 1.761，D1= 0.547，D2= 5.393，D3 = 0.134，D4 = 1.816，c4 = 0.9693，d2 = 2.970，d3 = 0.808。
小題 (一)
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看到本題，任務是計算基本的管制圖界限。首先要辨識出使用的是 $\bar{X}-R$ 管制圖。接著從題目給定資訊中挑選對應的係數：已知樣本大小 n=9，所以要使用查表係數 $A_2, D_3, D_4$。套用公式：$\bar{X}$管制圖的 $UCL/LCL = \bar{\bar{X}} \pm A_2 \bar{R}$，R管制圖的 $UCL = D_4 \bar{R}$、$LCL = D_3 \bar{R}$。計算時小數點保留位數要足夠。
小題 (二)
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這題考的是管制圖的「檢定力 (Power)」，也就是偵測變異的機率 ($1-\beta$)。首先要從先前的資料估算製程母體標準差 $\hat{\sigma}$，可由公式 $\hat{\sigma} = \bar{R} / d_2$ 取得。算出母體標準差後，必須計算「樣本平均數的標準差 (標準誤)」，即 $\sigma_{\bar{x}} = \hat{\sigma} / \sqrt{n}$。接著，製程發生偏移，新的平均數變為 $\mu_{new} = 200.5$。我們要求出新的抽樣點落出第一小題算出的管制界限 (UCL與LCL) 之外的機率。計算方法為將原來的 UCL 和 LCL 標準化 (轉為 Z 分數)，利用新的分配 $N(200.5, \sigma_{\bar{x}}^2)$ 來求算落在界限內的機率 (即型 II 錯誤 $\beta$)，最後用 $1 - \beta$ 即可得到偵測機率。
小題 (三)
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本題測驗「製程能力指標」。首先辨識公式：Cp = 規格全距 / 6個標準差 = (USL - LSL) / 6σ。Cpk = min(Cpu, Cpl) = min((USL - μ) / 3σ, (μ - LSL) / 3σ)。 接著從題目中提取關鍵數值：規格 200.0 ± 3.0 代表上限 USL = 203.0、下限 LSL = 197.0。標準差要使用第(二)小題算出的「母體標準差 $\hat{\sigma} = 0.9764$」(注意：不是用 $\sigma_{\bar{x}}$)。題目特別強調「此變異發生時」，因此計算 Cpk 時的平均數 $\mu$ 必須使用「變異上移後的 200.5」，不能使用原來的 199.8。