高考申論題
114年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於 240 小時。隨機抽取電池 36 件（n=36），其樣本平均值為 235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為 12 小時。
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於 240 小時。隨機抽取電池 36 件（n=36），其樣本平均值為 235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為 12 小時。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請檢定電池平均壽命是否低於 240 小時。顯著水準為 0.1。（5 分）
思路引導 VIP
本題考查單一母體平均數的假設檢定。看到「母體標準差已知」及「常態分配」，應立即想到使用 Z 檢定統計量。由於題目詢問平均壽命是否「小於」某定值，應建立為左尾檢定，代入公式計算出 Z 檢定值後，與查表得出的臨界值比較即可得出結論。
小題 (二)
續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值對應之樣本平均值。（4 分）
思路引導 VIP
判斷母體變異數已知，應使用標準常態 Z 檢定進行左尾檢定。透過檢定統計量公式 $Z = (\bar{X} - \mu_0) / (\sigma/\sqrt{n})$，推導出左尾臨界值 $-z_\alpha$，並逆推計算出對應的樣本平均數臨界值。遇到未給定 $\alpha$ 的題型，宜列出通式，並以常規 $\alpha=0.05$ 輔助數值計算以確保嚴謹性。
小題 (三)
若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II 誤差機率及檢定力。（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗假設檢定中「型 II 誤差」與「檢定力」的計算。解題關鍵在於先確認拒絕域（若題幹未給定顯著水準，國考慣例通常假設 α=0.05），再於對立假設的真實母體平均數下，計算未落入拒絕域的機率（β）以及落入拒絕域的機率（1-β）。此外可補充「事後檢定力」的計算以防範題意陷阱。
小題 (四)
若只有隨機抽取的電池改為 100 件（n=100），其他不變。若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II 誤差機率及檢定力。顯著水準為 0.1。（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗「型 II 誤差」與「檢定力」的計算。首先需利用給定的顯著水準（α=0.1）與原假設建立拒絕域（臨界值），接著將對立假設下的真實母體平均數分別代入，計算樣本平均數落入「接受域」的機率即為型 II 誤差（β），而檢定力即為 1-β。
📜 參考法條
附表一：Z 值表
母體均值檢定與檢定力
💡 掌握顯著水準、拒絕域臨界值與檢定力之計算邏輯。
🔗 檢定力與型二誤差計算流程
- 1 設定假設 — 確立 H0 (虛無假設) 與 H1 (對立假設) 方向
- 2 求臨界值 — 依顯著水準 α 與 H0 分配算出樣本平均臨界點
- 3 計算 β — 在 H1 真實均值下，計算樣本落在非拒絕區的機率
- 4 求檢定力 — 計算 1 - β，即為正確拒絕錯誤 H0 的機率
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🔄 延伸學習：延伸學習：樣本數 n 增加會使抽樣分配變窄，進而顯著提升檢定力。
