高考申論題
114年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
A 和 B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自 A 和 B 公司隨機抽取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A 5 3 5 7 6 4 B 7 7 9 9 8 6
A 和 B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自 A 和 B 公司隨機抽取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A 5 3 5 7 6 4 B 7 7 9 9 8 6
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量及估計值。（6 分）
思路引導 VIP
遇到兩組獨立樣本且已知母體變異數相等的題目，應直覺想到使用「合併變異數（Pooled Variance）」作為母體變異數的不偏估計量。解題時分別求出兩組樣本的離差平方和（SS），再代入公式計算出數值即可。
小題 (二)
請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分）
思路引導 VIP
本題測驗點估計的基本概念。要求母體平均數差的估計量，直覺應想到其對應的『樣本平均數差』作為不偏估計量。接著直接代入兩組觀測資料分別算出樣本平均數並相減，即可得到實際的估計值。
小題 (三)
續題(一)，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計方法？結論為何？顯著水準為 0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分配。（10 分）
思路引導 VIP
本題為比較兩獨立常態母體平均數是否有差異的檢定。因母體變異數未知且樣本數較小（n1, n2 < 30），應假設兩母體變異數相等，採用「獨立樣本 t 檢定（合併變異數）」。解題時需先分別求出兩組的樣本平均數與變異數，接著計算合併變異數與 t 統計量，最後與查表所得的臨界值比較並做出結論。
小題 (四)
續題(一)，請估計兩家膜厚平均值差之 95%信賴區間。（5 分）
思路引導 VIP
本題為兩獨立常態母體平均數差的區間估計。由於為小樣本且母體變異數未知，應先計算兩樣本的平均數與變異數。接著假設兩母體變異數相等，計算合併變異數（Pooled Variance），最後利用 t 分配建構 95% 信賴區間。
📜 參考法條
附表二：t 值表
雙樣本均值比較檢定
💡 獨立雙樣本在變異數未知但相等下，利用合併變異數執行 t 檢定。
🔗 雙樣本 t 檢定標準解題流程
- 1 點估計計算 — 先求兩組各自的樣本平均值與樣本變異數
- 2 合併變異數 — 依變異數相等假設計算出 $S_p^2$ 與標準誤
- 3 設定假設 — 列出 $H_0: \mu_A = \mu_B$ 與 $H_1: \mu_A \neq \mu_B$
- 4 決策與區間 — 計算 t 統計量，查表判定是否拒絕，並建構區間
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🔄 延伸學習：延伸學習：若樣本為成對數據，則應改用成對樣本 t 檢定 (Paired t-test)。
