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高考申論題 105年 [經建行政] 統計學

第 一 題

📖 題組：
設某電子廠兩生產線之產品重量服從常態分配，今分別自該兩生產線隨機各抽取大小為 5 之樣本，得其產品重量﹙單位：公克﹚如下所示： 生產線 A 42 34 40 46 38 生產線 B 46 40 44 44 36
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

試驗證生產線 B 之 x̄_B = 42，s_B² = Σ(x_i - x̄_B)² / (n_B - 1) = 16。（6 分）

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這是一道基礎送分題，考驗樣本統計量的計算能力。作答時務必清楚列出樣本平均數與樣本變異數的定義公式，並將每個數據代入逐項計算離差平方和，特別注意樣本變異數分母為自由度 (n-1)。

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【解題關鍵】運用樣本平均數公式 $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ 與樣本變異數公式 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ 進行逐步計算。 【解答】 已知：生產線 B 抽取的樣本數 $n_B = 5$，觀測值為 $46, 40, 44, 44, 36$。

小題 (二)

今若另求得生產線 A 之 x̄_A = 40 , s_A² = 20 。試以α = 0.10 之顯著水準，檢定H0 : σ_A² = σ_B² 是否成立？（6 分）

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本題為兩獨立常態母體變異數相等的假設檢定。先由原始數據計算出B生產線的樣本變異數，再利用兩者的樣本變異數比值建構 F 檢定統計量，並與雙尾檢定的 F 分配臨界值比較以作決策。

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【解題思路】利用兩獨立常態母體的樣本變異數建構 $F$ 檢定統計量，並與 $F$ 分配之臨界值進行雙尾比較來判定。 【詳解】 已知：

小題 (三)

以α = 0.10之顯著水準，檢定兩生產線所有產品之平均重量是否有差異？（8 分）

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本題為兩獨立常態母體平均數差的假設檢定。因小樣本（各為5）且未給定母體變異數，應先計算樣本平均數與變異數，並在假設兩母體變異數相等的前提下，使用合併變異數（Pooled variance）建構 t 檢定統計量來進行雙尾檢定。

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【解題思路】本題為探討兩獨立常態母體平均數差異之檢定。由於為小樣本且母體變異數未知，故假設兩母體變異數相等，採用合併變異數的獨立樣本 t 檢定。 【詳解】 Step 1：建立假設

📜 參考法條

標準常態分配數值表 t 分配數值表 χ² 分配數值表 F 分配數值表

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