高考申論題
114年
[航海技術] 航海學
第 二 題
利用當地天水平座標系（NEU, North-East-Up）及出發點經度為零度的假設，並以相對座標系表示終點位置，來推導已知經緯度的地表上兩點之間的大圓距離與初始航向角公式。其中在當地天水平座標 NEU 及終點的向量為：（假設起點經度為零）
推導過程：
一、座標系與基本假設
(一)定義出發點位置與 NEU 座標系
出發點 A：φ₁, 假設λ₁ = 0
東向單位向量 e = [0, 1, 0]
北向單位向量 n = [-sinφ₁, 0, cosφ₁]
向上(A)單位向量 u=A= [cosφ₁, 0, sinφ₁]
(二)終點地心向量 B 的表示
B = [cosφ₂·cosΔλ, cosφ₂·sinΔλ, sinφ₂]
請重抄已呈現的解題內容,然後再接續繕寫後面推導的過程。（25 分）
推導過程：
一、座標系與基本假設
(一)定義出發點位置與 NEU 座標系
出發點 A：φ₁, 假設λ₁ = 0
東向單位向量 e = [0, 1, 0]
北向單位向量 n = [-sinφ₁, 0, cosφ₁]
向上(A)單位向量 u=A= [cosφ₁, 0, sinφ₁]
(二)終點地心向量 B 的表示
B = [cosφ₂·cosΔλ, cosφ₂·sinΔλ, sinφ₂]
請重抄已呈現的解題內容,然後再接續繕寫後面推導的過程。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗大圓航法中球面三角公式的向量幾何推導。解題關鍵在於利用向量內積求得兩地心向量的夾角（即大圓距離），並將終點向量投影至出發點的北向與東向單位向量上，以三角函數比例求得初始航向角。
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AI 詳解
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【解題思路】運用空間幾何與向量內積原理，透過終點向量在出發點當地天水平座標系（NEU）各軸上的投影，推導大圓距離（D）及初始航向角（C）公式。 【詳解】 已知：
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大圓距離與航向角推導
💡 利用向量內積與座標投影，導出地表兩點大圓距離與初始航向。
🔗 大圓公式向量推導流程
- 1 座標定義 — 設定起點NEU單位向量與終點B地心向量
- 2 內積求距 — 計算u與B之內積，導出cos(D)公式
- 3 投影求向 — 將B投影至e軸與n軸，取得東、北向分量
- 4 比例求角 — 依tan(C) = B_e/B_n，導出初始航向角公式
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步探討球面三角學中餘弦定理與本推導結果的一致性。
