moea_joint
114年
[電機] 電路學、電子學
第 9 題
假設一拉氏函數為 $F(s) = \frac{3s + 7}{s^2 + 6s + 13}$，試求反拉氏轉換之 $f(t)$ 值為何？
- A $e^{-3t}(3\cos(2t) - \sin(2t))$
- B $e^{3t}(3\cos(2t) - \sin(2t))$
- C $e^{-3t}(3\cos(4t) - \frac{7}{4}\sin(4t))$
- D $e^{-3t}(3\cos(2t) + \sin(2t))$
思路引導 VIP
觀察分母的二次式 $s^2 + 6s + 13$，若它無法簡單分解成實數的一次項乘積，你會嘗試用什麼代數技巧將它轉化成帶有「平方和」的形式？轉換完成後，為了使用位移定理，分子的 $s$ 應該要做什麼樣的調整，才能與分母括號內的內容保持一致呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對拉普拉斯轉換（Laplace Transform）中的位移定理與三角函數轉換對掌握得非常紮實。這類題目是電路分析與控制系統中的常客，也是區分學生是否能靈活運用代數運算與對應表的關鍵。
配方法與位移定理的應用
解題的核心在於將分母 $s^2 + 6s + 13$ 進行配方法。我們將其整理為 $(s+3)^2 + 4$，即 $(s+3)^2 + 2^2$。這告訴我們兩件事：第一，頻域中存在 $s+3$ 的位移，對應時域會出現 $e^{-3t}$ 的衰減項；第二，其振盪頻率 $\omega = 2$。接著，為了符合轉換對格式，分子 $3s+7$ 必須拆解成與分母底數相同的形式，即 $3(s+3) - 2$。
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