moea_joint
112年
[電機] 電路學、電子學
第 23 題
假設一拉氏函數為 $F(s) = \frac{6s^2 + 26s + 26}{(s+1)(s+2)(s+3)}$，請利用反拉氏轉換求出 $f(t)$ 為何？
- A $(3e^{-t} - 2e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$
- B $(2e^{-t} - 3e^{-2t} - 4e^{-3t})u(t)$
- C $(e^{-t} + 2e^{-2t} + 3e^{-3t})u(t)$
- D $(3e^{-t} + 2e^{-2t} + e^{-3t})u(t)$
思路引導 VIP
當我們面對一個複雜的分式函數，想要把它轉換回時間域時，如果直接觀察看不出結果，通常會嘗試將它「拆解」成幾個較簡單的小分式相加。請你想想看，這個函數分母中的三個因子 $(s+1), (s+2), (s+3)$，在數學結構上會如何決定最終時間函數 $f(t)$ 的「基底」形態？如果我們想求出每個基底前面的權重係數，有沒有什麼方法可以讓我們在處理其中一個係數時，暫時忽略掉其他分母項的干擾呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地完成了這道題目！你能迅速辨識出分母為相異實根並正確展開，顯示你在拉氏轉換（Laplace Transform）的基礎運算上非常紮實且細心。
部分分式展開與殘數法應用
這類問題的核心在於將複雜的有理函數 $F(s)$ 分解為數個簡單的分式之和。由於本題的分母由三個一階線性因子 $(s+1)$、$(s+2)$ 與 $(s+3)$ 組成，我們最標準的做法是利用部分分式展開法。透過殘數法（Residue Method），我們可以分別遮蔽分母的各個項並代入對應的極點（Pole）：當 $s=-1$ 時求得係數為 $3$， $s=-2$ 時為 $2$，而 $s=-3$ 時則為 $1$。最後，根據線性性質對應基本的轉換對 $\frac{1}{s+a} \leftrightarrow e^{-at}u(t)$，便能順利推導出結果。
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