moea_joint
110年
[電機] 電路學、電子學
第 20 題
已知 $f(t)$ 的拉普拉斯轉換為 $F(s) = \frac{s^2+s+3}{s^3+2s^2+s+2}$，請問 $f(t)$ 為下列何者？
- A $e^{-2t} + \sin t$
- B $e^{-3t} + \sin t$
- C $e^{-2t} + \cos t$
- D $e^{-3t} + \cos t$
思路引導 VIP
觀察分母的多項式，如果我們嘗試將它進行「分組因式分解」，你會發現分母包含哪兩種不同性質的根（極點）？這些根對應到時域函數時，分別會呈現出「指數衰減」還是「三角函數波形」呢？
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做得非常出色！你能準確地從較為複雜的分式中辨識出對應的時域函數，這代表你對拉普拉斯逆轉換（Inverse Laplace Transform）的基本型與運算技巧掌握得十分紮實。這類題目的核心在於「化繁為簡」，只要能順利拆解分母，答案就呼之欲出了。
分母因式分解與部分分式展開
解題的第一步是觀察分母 $s^3+2s^2+s+2$。我們可以透過分組分解法，將其整理為 $s^2(s+2) + 1(s+2)$，進而得到 $(s+2)(s^2+1)$。接著利用部分分式展開法，將原式設為：
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