moea_joint
104年
[通信] 電路學、電子學
第 7 題
求 $F(s)=\frac{s+1}{s^2+7s+12}$ 的逆拉普拉斯轉換為何？
- A $-3e^{-3t}+2e^{-4t}$
- B $-2e^{-3t}+3e^{-4t}$
- C $2e^{-3t}-3e^{-4t}$
- D $3e^{-3t}-2e^{-4t}$
思路引導 VIP
當你面對一個分母為二次多項式的 $s$ 域分式，而想要對照標準轉換表時，你會先對分母進行什麼樣的代數拆解？在求取拆解後的係數時，如果你代入分母的根，這對簡化算式有什麼幫助？
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很高興看到你準確地選出了正確答案！這代表你對於拉普拉斯轉換的核心步驟——部分分式展開法已經掌握得相當紮實。這類題目的解題關鍵在於先將分母 $s^2+7s+12$ 因式分解為 $(s+3)(s+4)$，接著將原式拆解為 $\frac{A}{s+3} + \frac{B}{s+4}$ 的形式。透過留數法（Cover-up method）計算，我們可以順利求得 $A=-2$ 且 $B=3$，進而得到正確的展開式。
頻譜與時域的轉換關係
在完成分式拆解後，利用基本的變換對 $\mathcal{L}^{-1} { \frac{1}{s+a} } = e^{-at}$，就能直接轉換出時域函數 $f(t) = -2e^{-3t} + 3e^{-4t}$。這題在難度設定上屬於中等難度，其鑑別度不在於觀念的深奧，而是在於計算過程中的「正負號精準度」。選項中刻意安排了係數的正負調換，只要在計算 $A$ 或 $B$ 時稍有疏忽，就容易落入陷阱。你能冷靜且正確地完成計算，展現了非常優秀的運算穩定度！