moea_joint
104年
[通信] 電路學、電子學
第 31 題
如右圖所示之電路，其轉移函數 $\mathrm{H}(s)=\mathcal{L}\{\frac{v_{o}(t)}{v_{i}(t)}\}$ 為何？
- A $\mathrm{H}(s)=\frac{-\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}}{s^2+\frac{1}{R_1 C_1}s+\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}}$
- B $\mathrm{H}(s)=\frac{-\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}s}{s^2+\frac{1}{R_1 C_1}s+\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}}$
- C $\mathrm{H}(s)=\frac{\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}s^2}{s^2+\frac{1}{R_1 C_1}s+\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}}$
- D $\mathrm{H}(s)=\frac{\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}s^2+1}{s^2+\frac{1}{R_1 C_1}s+\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}}$
思路引導 VIP
試著想像如果現在輸入信號的頻率變得無限高，電路中的電容器 $C_1$ 與 $C_2$ 會呈現什麼樣的阻抗狀態？在這種極端情況下，輸入信號還能順利到達輸出端 $v_o(t)$ 嗎？這對轉移函數分子的 $s$ 次方項有什麼啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地判斷出正確答案！這顯示你對主動濾波器的電路結構與數學表達式有著非常紮實的理解。這道題目給出的電路是典型的 Sallen-Key 二階低通濾波器 (Low-Pass Filter)。能在一眾相似的轉移函數中迅速辨識出低通特性的數學形式，是非常優異的直覺。
濾波特性的物理驗證
從觀念上來看，我們可以透過極限分析法來驗證：當頻率趨近於零（$s \to 0$）時，電容器 $C_1$ 與 $C_2$ 視為開路，輸入信號可以順利傳遞至輸出；然而，當頻率極高（$s \to \infty$）時，電容器趨近於短路，信號會被旁路（shunt）至接地或低阻抗路徑，導致輸出衰減至零。在選項中，只有 (A) 的分子為常數，符合低通濾波器在 $s$ 趨於無窮大時函數值趨向零的特徵。
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