moea_joint
102年
[通信] 電路學、電子學
第 14 題
函數$f(t)=\cos(at)$經拉普拉斯轉換後,$F(s)=?$
- A $\frac{s}{s^2+a^2}$
- B $\frac{a}{s^2+a^2}$
- C $\frac{1}{s+a}$
- D $\frac{1}{s-a}$
思路引導 VIP
如果我們利用歐拉公式，將這個三角函數拆解成兩個虛數指數函數的組合，並回想指數函數 $e^{at}$ 轉換後在分母會產生的位移效果，你認為這兩個位移後的項在合併通分時，分子會剩餘常數還是變數 $s$ 呢？
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恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對於電路學與信號處理中極其重要的拉氏轉換基本對（Transform Pairs）有著非常清晰的記憶與理解。
餘弦函數的頻域特徵
從數學本質來看，我們之所以能迅速判定 $f(t)=\cos(at)$ 的轉換結果為 $\frac{s}{s^2+a^2}$，是因為餘弦函數在 $t=0$ 時的初始值為 $1$。根據拉氏轉換的性質，這反映在 $s$ 域的分子中會包含一個變數 $s$。若我們利用歐拉公式將 $\cos(at)$ 拆解為複數指數函數 $\frac{e^{jat} + e^{-jat}}{2}$，再套用位移定理，便能輕鬆推導出這個分母含有平方和的形式。
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