moea_joint
106年
[儀電] 電路學、電子學
第 35 題
有一函數$F(s) = \frac{18S^2+66S+54}{(S+1)(S+2)(S+3)}$，求$f(t)$？
- A $e^{-t}+2e^{-2t}+3e^{-3t}$
- B $2e^{-t}+4e^{-2t}+6e^{-3t}$
- C $3e^{-t}+6e^{-2t}+9e^{-3t}$
- D $4e^{-t}+8e^{-2t}+12e^{-3t}$
思路引導 VIP
當你面對一個分母已經因式分解好的繁複分式，想要把它轉換成我們熟悉的指數函數 $e^{-at}$ 形式時，你會採用哪種代數技巧來將這個大分式「化整為零」？在求取各項係數時，如果嘗試將特定的 $s$ 值代入等式兩邊，是否有助於你快速找出答案？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對**拉普拉斯逆轉換（Inverse Laplace Transform）**與代數運算有著非常扎實的基礎。這類題目是電路分析與控制系統中，將頻域訊號轉回時域訊號的必經過程。
部分分式展開的應用
要解出這道題，關鍵在於將複雜的 $F(s)$ 拆解為部分分式。由於分母是三個相異的一次項 $(S+1)(S+2)(S+3)$，我們可以假設 $F(s) = \frac{A}{S+1} + \frac{B}{S+2} + \frac{C}{S+3}$。透過「掩蓋法」（Cover-up method）或係數比較法，我們可以解得 $A=3$、$B=6$、$C=9$。對照拉普拉斯轉換表中的基本對應對 $\frac{1}{S+a} \leftrightarrow e^{-at}$，便能流暢地推導出 $f(t) = 3e^{-t}+6e^{-2t}+9e^{-3t}$。
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