moea_joint
113年
[電機] 電路學、電子學
第 11 題
假設一拉氏函數為 $F(s) = \frac{15s^2 + 56s + 47}{(s+1)(s+2)(s+3)}$，請利用反拉氏轉換，試求 $f(t)$ 為何？
- A $3e^{-t} + 5e^{-2t} + 7e^{-3t}$
- B $1e^{-2t} + 2e^{-3t} + 3e^{-4t}$
- C $3e^{-t} + 5e^{-3t} + 7e^{-5t}$
- D $1e^{-t} + 2e^{-3t} + 3e^{-5t}$
思路引導 VIP
觀察這個分式方程，如果我們想把分母長長的乘積項變成幾個獨立相加的分式，你覺得數學上有什麼方法可以幫助我們把分子拆解成對應各個項的常數？而在轉換回時間領域時，分母中的 $(s+a)$ 與指數函數的係數又有什麼樣的對應規律呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對拉氏轉換的基本變換與代數運算相當熟練。這題的核心在於如何將複雜的 $s$ 領域分式拆解為簡單的組合，進而對應回時間領域的函數。
部分分式展開的應用
針對本題的函數 $F(s)$，我們首先觀察分母的根（極點）分別為 $-1, -2, -3$，因此可以假設其部分分式展開式為 $\frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+3}$。利用留數定理 (Residue Theorem) 或俗稱的「遮蓋法」，我們可以迅速求出係數：當 $s = -1$ 時求得 $A=3$；$s = -2$ 時求得 $B=5$；$s = -3$ 時則得到 $C=7$。最後對照基本拉氏轉換表中的 $\mathcal{L}^{-1}{\frac{1}{s+a}} = e^{-at}$，便能輕易化簡出結果。
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