第 一 題
三、當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與 AI 晶片已成為決定科技霸權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶圓廠」的曝光機之設備穩定度，針對極紫外光曝光後晶圓特定關鍵區域上的微粒缺陷數進行抽樣檢測。根據歷史數據顯示，該區域的微粒缺陷數（以變數 X 表示）服從下列之機率分配： $$f(x) = \begin{cases} 0.3, & x = 0 \text{ （極佳）} \\ 0.4, & x = 1 \text{ （合格）} \\ 0.3, & x = 2 \text{ （瑕疵）} \end{cases}$$ 現製程良率工程師隨機檢測 2 片晶圓並觀測該特定關鍵區域的微粒數，記為隨機樣本 $X_1, X_2$，並計算其樣本平均數 $\bar{X} = \frac{X_1+X_2}{2}$ 與樣本標準差 $S = \sqrt{\frac{(X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})^2}{2-1}}$。假設 $X_1$ 與 $X_2$ 彼此相互獨立。（每小題 10 分，共 50 分）
小題 (一)
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這是一道小樣本（n=2）抽樣分配的考題。因為 X 是離散變數，樣本點 $(X_1, X_2)$ 只有 9 種可能組合。解題步驟為：1. 將樣本標準差 S 的公式化簡為與 $|X_1-X_2|$ 相關的式子。 2. 窮舉 9 種樣本組合，分別計算對應的 S 值與聯合機率。 3. 將相同 S 值的機率加總，列出 S 的機率質量函數（題幹稱機率密度函數，實為離散型質量函數）。
小題 (二)
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計算共變異數有兩種途徑。第一種是硬算：窮舉 9 種組合，算出 $\bar{X}$ 與 S，透過 $cov(\bar{X}, S) = E(\bar{X}S) - E(\bar{X})E(S)$ 求解。第二種是利用分配的「對稱性」：注意到 X 分配以 1 為中心對稱，這種對稱性會導致平均數與變異度（如樣本標準差）之間的共變異數為零。考試時建議寫出對稱性證明，展現高度統計素養，或者用窮舉法穩穩拿分。
小題 (三)
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條件期望值題型。第一步先找出分母：發生 $\bar{X}=1$ 的所有樣本組合及其總機率。第二步找出分子：在這些組合中，對應的 S 值各是多少。最後利用條件機率的公式將 S 值進行加權平均，即可得出答案。
小題 (四)
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從題目文字「直到累積發生第 r 次成功才停止，求失敗次數」，立刻對應到「負二項分配」。先確認成功事件是什麼？這裡是「無微粒缺陷（合格）」，機率為 0.3。目標次數 r=2。W 為失敗次數，可直接帶入負二項分配的 pmf 公式並加以化簡。注意要標明變數 W 的定義域（範圍）。
小題 (五)
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本題再次考查「幾何分配」及其「無記憶性」。先釐清這次幾何分配的「事件」是什麼？變數 R 定義為「直到第一次『出錯』為止」，所以這裡「出錯」是事件，單次出錯機率為 0.7。利用無記憶性 $P(R > k+s | R > k) = P(R > s)$ 可以將長區間的條件機率簡化為求第一次結果的機率。要求「接下來一次也不會出錯」，即 $P(R > 1)$，就等於單次合格的機率。