高考申論題
115年
[工業行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
二、欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和 AI (Y)的計算速度。設 $\mu_1$、$\mu_2$ 分別為 AI (X)和 AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下檢定： $H_0: \mu_1 \le \mu_2 + 1$ $H_1: \mu_1 > \mu_2 + 1$
二、欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和 AI (Y)的計算速度。設 $\mu_1$、$\mu_2$ 分別為 AI (X)和 AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下檢定： $H_0: \mu_1 \le \mu_2 + 1$ $H_1: \mu_1 > \mu_2 + 1$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
選 8 個計算題給 AI (X)和 AI (Y)計算，皆算得正確答案，而 $x_i$ 與 $y_i$（i=1～8）分別為 AI (X)和 AI (Y)解第 i 題所花時間，其平均及變異量為：
$\bar{x} = 12, s_x^2 = 8$
$\bar{y} = 9, s_y^2 = 8$
且 $x_1, \dots , x_8$ 與 $y_1, \dots , y_8$ 的相關係數為 $r = 0.5$。對上述假說進行檢定。（15 分）
$\bar{x} = 12, s_x^2 = 8$
$\bar{y} = 9, s_y^2 = 8$
且 $x_1, \dots , x_8$ 與 $y_1, \dots , y_8$ 的相關係數為 $r = 0.5$。對上述假說進行檢定。（15 分）
思路引導 VIP
辨識題型：此為「配對樣本（成對樣本）」檢定。相同的 8 個題目分別讓兩個 AI 計算，產生配對資料。需先求出配對差值 $d_i = x_i - y_i$ 的平均數 $\bar{d}$ 與變異數 $s_d^2$。公式為 $s_d^2 = s_x^2 + s_y^2 - 2rs_xs_y$。求出後再進行單一樣本的 $t$ 檢定（檢定母體平均差是否大於 1）。
小題 (一)
選 16 個計算題，隨機各分 8 題給 AI (X)和 AI (Y)，皆算得正確答案，而所花時間（$x_1, \dots , x_8$ 與 $y_1, \dots , y_8$）之平均及變異量為：
$\bar{x} = 12, s_x^2 = 8$
$\bar{y} = 9, s_y^2 = 8$
請對上述假說進行檢定。（15 分）
$\bar{x} = 12, s_x^2 = 8$
$\bar{y} = 9, s_y^2 = 8$
請對上述假說進行檢定。（15 分）
思路引導 VIP
本題為兩獨立母體平均數差的假設檢定。題目「隨機各分 8 題」代表為「獨立樣本設計」。已知樣本數 $n_1=8, n_2=8$（皆小樣本），母體變異數未知但樣本變異數相同（$s_x^2 = s_y^2 = 8$），故須假設母體常態且變異數相等，使用「合併變異數 (Pooled Variance)」的 $t$ 檢定。計算出檢定統計量 $t$ 值後，需查表判斷。因考卷僅附「常態分配表」而無 $t$ 分配表，建議作答時先依學理寫出應查 $t$ 表的臨界值（自由度 $df=14$），再輔以 Z 表近似或直接比較常見之 $z_{0.05} = 1.645$ 作出結論，並稍微文字說明無表之通融作法。