高考申論題
109年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
五、下列是關於母體平均以及母體比率之估計與檢定的問題：
五、下列是關於母體平均以及母體比率之估計與檢定的問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程式；假定μ₁為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而μ₂為新版軟體執行測試程式的平均執行時間，且x₁,…,x₆為舊版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料，而y₁,…,y₆為新版軟體執行測試程式之執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x₁,…,x₆之平均值為7且變異數為5.6，而y₁,…,y₆之平均值為6且變異數為2.4，x₁,…,x₆與y₁,…, y₆之相關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將x₁,…,x₆與y₁,…,y₆視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x₁,y₁），…，（x₆,y₆）視為成對樣本，在顯著水準α = 0.01，檢定 H_0 : μ₁ ≤ μ₂ - 2.5 對 H_1 : μ₁ > μ₂ - 2.5 。（10分）
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這是一題要求同時演練「獨立雙樣本 t 檢定」與「成對樣本 t 檢定」的比較題型。 題目給定的假設形式稍有變形，為了方便計算，我們可將其移項改寫為：
小題 (一)
假定某地區的每日最高溫服從一平均值為μ及標準差為4的常態分配。針對下列假設， H_0 : μ = 28 對 H_1 : μ = 30 ，隨機取得16筆此地區當日最高溫資料。估計量 X̄ 為樣本平均值。給定下列3種檢定法：
檢定法A：若 X̄ > c 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0；
檢定法B：若 X̄ > 30.17 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0；
檢定法C：若 X̄ < 30.5 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0。
已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為α = 0.015，請計算c的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合設定並有最大檢定力。（10分）
檢定法A：若 X̄ > c 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0；
檢定法B：若 X̄ > 30.17 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0；
檢定法C：若 X̄ < 30.5 則拒絕H_0，反之則不拒絕H_0。
已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為α = 0.015，請計算c的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合設定並有最大檢定力。（10分）
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本題考驗統計假說檢定的兩大核心概念：「顯著水準 (型一錯誤率 $\alpha$)」與「檢定力 (Power, 即 $1-\beta$)」。
- 理解變數分配：母體 $X \sim N(\mu, 4^2)$，樣本數 $n=16$，因此樣本平均數 $\bar{X} \sim N(\mu, 4^2/16) \implies \bar{X} \sim N(\mu, 1)$。
小題 (三)
某民調機構欲比較候選人A的支持率 p₁ 與候選人B的支持率 p₂ 的差異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷：
關於候選人A的問卷：調查人數 4900，支持此候選人人數 2450
關於候選人B的問卷：調查人數 4900，支持此候選人人數 n
已知根據上述問卷所得 p₁ - p₂ 之95%信賴區間其長度為0.0392，以及候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出n的值，並利用上述問卷得到 p₂ 的95%信賴區間。（10分）
關於候選人A的問卷：調查人數 4900，支持此候選人人數 2450
關於候選人B的問卷：調查人數 4900，支持此候選人人數 n
已知根據上述問卷所得 p₁ - p₂ 之95%信賴區間其長度為0.0392，以及候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出n的值，並利用上述問卷得到 p₂ 的95%信賴區間。（10分）
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這是一道結合母體比例差異信賴區間與代數求解的應用題。
- 先釐清符號與已知：
📜 參考法條
附表一：標準常態分配表
附表二：t 分配臨界值表