高考申論題
115年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 二 題
📖 題組：
二、某政府機關希望了解員工使用生成式 AI 協助公務處理的情形。研究團隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式 AI 協助公務的時數。（每小題 10 分，共 50 分）
二、某政府機關希望了解員工使用生成式 AI 協助公務處理的情形。研究團隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式 AI 協助公務的時數。（每小題 10 分，共 50 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (二)
研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式 AI 時數的標準差如下：
| 部門 | 母體人數 | 前測標準差 |
|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 6 |
| 技術部門 | 1,800 | 9 |
| 服務部門 | 900 | 5 |
| 稽核部門 | 600 | 8 |
若總樣本數為 300，請使用 Neyman allocation 計算各部門建議樣本數，並說明配置結果的意義。
| 部門 | 母體人數 | 前測標準差 |
|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 6 |
| 技術部門 | 1,800 | 9 |
| 服務部門 | 900 | 5 |
| 稽核部門 | 600 | 8 |
若總樣本數為 300，請使用 Neyman allocation 計算各部門建議樣本數，並說明配置結果的意義。
思路引導 VIP
考點為「紐曼配置 (Neyman Allocation)」。解題步驟：
- 運用公式 n_h = n × (Nh × Sh) / Σ(Nh × Sh)。
小題 (一)
研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量：
| 部門 | 母體人數 | 樣本數 | 樣本平均數 | 樣本變異數 |
|---|---|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 80 | 7.5 | 36 |
| 技術部門 | 1,800 | 120 | 9.0 | 81 |
| 服務部門 | 900 | 60 | 6.0 | 25 |
| 稽核部門 | 600 | 40 | 8.0 | 64 |
| 合計 | 4,500 | 300 |
請估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並建立全機關平均使用時數的 95% 信賴區間。
| 部門 | 母體人數 | 樣本數 | 樣本平均數 | 樣本變異數 |
|---|---|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 80 | 7.5 | 36 |
| 技術部門 | 1,800 | 120 | 9.0 | 81 |
| 服務部門 | 900 | 60 | 6.0 | 25 |
| 稽核部門 | 600 | 40 | 8.0 | 64 |
| 合計 | 4,500 | 300 |
請估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並建立全機關平均使用時數的 95% 信賴區間。
思路引導 VIP
這題是標準的「分層隨機抽樣 (Stratified Random Sampling)」。解題重點在於：
- 計算母體比例（權數）Wh = Nh / N。
小題 (三)
正式調查後，實際回收情況如下：
| 部門 | 原抽樣本數 | 有效回覆數 | 回覆者平均使用時數 |
|---|---|---|---|
| 行政部門 | 80 | 72 | 7.4 |
| 技術部門 | 120 | 96 | 9.1 |
| 服務部門 | 60 | 54 | 6.2 |
| 稽核部門 | 40 | 28 | 7.9 |
若原本採比例配置，各層基本權重皆為 15，請計算各部門非回覆調整後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式 AI 協助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。
| 部門 | 原抽樣本數 | 有效回覆數 | 回覆者平均使用時數 |
|---|---|---|---|
| 行政部門 | 80 | 72 | 7.4 |
| 技術部門 | 120 | 96 | 9.1 |
| 服務部門 | 60 | 54 | 6.2 |
| 稽核部門 | 40 | 28 | 7.9 |
若原本採比例配置，各層基本權重皆為 15，請計算各部門非回覆調整後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式 AI 協助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。
思路引導 VIP
考點為「無回覆處理 (Non-response Adjustment) 與加權估計」。解題邏輯：
- 調整權重的公式為：調整後權重 = 原權重 × (原樣本數 / 有效回覆數)。
小題 (四)
研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下：
| 部門 | 母體人數 | 前測標準差 | 單位調查成本 |
|---|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 6 | 1 |
| 技術部門 | 1,800 | 9 | 2 |
| 服務部門 | 900 | 5 | 1 |
| 稽核部門 | 600 | 8 | 3 |
若總調查成本限制為 500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門建議樣本數，並說明此配置與 Neyman allocation 的差異。
| 部門 | 母體人數 | 前測標準差 | 單位調查成本 |
|---|---|---|---|
| 行政部門 | 1,200 | 6 | 1 |
| 技術部門 | 1,800 | 9 | 2 |
| 服務部門 | 900 | 5 | 1 |
| 稽核部門 | 600 | 8 | 3 |
若總調查成本限制為 500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門建議樣本數，並說明此配置與 Neyman allocation 的差異。
思路引導 VIP
考點為「最適配置 (Optimum Allocation / Cost-constrained Allocation)」。
- 公式核心：樣本數 n_h 應正比於 N_h × S_h / √c_h。
小題 (五)
若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並希望在 95% 信心水準下估計誤差不超過 0.5 小時。根據前測資料，估計全體標準差為 7.5，母體總人數為 4,500。請分別計算不考慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆率為 80%，請計算原始應抽樣本數。
思路引導 VIP
本題重點在於「決定樣本數大小 (Sample Size Determination)」。
- 第一步，計算無限母體（不考慮有限母體修正, FPC）下的初始樣本數 n0：利用邊際誤差公式 d = Z × S / √n0 求得 n0 = (Z × S / d)²。