第 一 題

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 是指「最佳線性不偏估計量」。在所有線性且不偏的估計量中，具有最小變異數（Minimum Variance）的估計量，即為最有效率的估計量。

1. 一致性 (Consistency)：當樣本數趨近於無限大時，估計量會以機率收斂至母體真值，此為大樣本（漸近）性質。
2. 不偏性 (Unbiasedness)：估計量之期望值等於母體真值，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$，此適用於任何給定之有限樣本。
3. 兩者差別：不偏性是在給定「特定有限樣本數」下討論估計量的期望值是否命中真值；而一致性則是討論當「樣本數極大化」時估計量收斂於真值的漸近性質。不偏不一定一致，一致也不一定不偏。

1. 判定係數 $R^2$ 的定義：$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$ (其中SSE為殘差平方和，SST為總平方和)。
2. 調整後判定係數 $\bar{R}^2$ 的定義：$\bar{R}^2 = 1 - \frac{SSE/(n-k-1)}{SST/(n-1)}$。
3. $R^2$ 的缺點：當模型中不斷加入新的解釋變數時，$SSE$ 必然不會增加（甚至會減少），導致 $R^2$ 永遠不會下降。這會誘導研究者加入無實質意義的變數來提高 $R^2$，造成模型過度配適（Overfitting）。為解決此問題而引入了懲罰項，即 $\bar{R}^2$。

卜瓦松分配 (Poisson Distribution) 是一種離散型機率分配，主要用於描述在一段固定時間、空間或面積內，某種出現機率甚小（稀有）之隨機事件發生指定次數的機率。其特徵為期望值與變異數相等。

中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 指出，從任何平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ (且變異數有限) 的母體中，隨機抽出樣本數為 $n$ 的一組樣本，當樣本數 $n$ 夠大（通常 $n \ge 30$）時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配會近似於常態分配 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，不論原母體之分配型態為何。