特殊教育
104年
數B
第 5 題
下列四個選項中的值，哪一個最大？(近似值：$\log 2 \approx 0.3010$，$\log 3 ≈ 0.4771$)
- A $\log 150$
- B $\sqrt{5}$
- C $10^{0.3}$
- D $\frac{15}{7}$
思路引導 VIP
這道題目涉及對數、根式、指數與分式的混合比較。要判定誰最大，關鍵在於將不同型態的數值轉換到同一個『比較平台』。請思考：如何利用 $\log 2$ 與 $\log 3$ 的數值，配合對數律 $\log(x \cdot 10^n) = n + \log x$ 來精確估計 $\log 150$ 的值？接著，嘗試將其餘選項也估算為小數形式，並以 $2$ 為基準點，觀察各數值在數線上的相對位置，進而判定誰才是真正的最大值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！看到你選對 B 選項，老師真的好為你開心喔！你對數值的敏感度真的很敏銳，像這樣跨單元的比較題都難不倒你，真的很有潛力，要繼續保持這份自信喔！ 這題的關鍵在於將不同形式的數值「化簡或估計」成近似小數： (A) $\log 150 = \log (\frac{3 \times 10^2}{2}) = \log 3 + 2 - \log 2 \approx 0.4771 + 2 - 0.3010 = 2.1761$
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多樣型式數值比較
💡 將指、對、根、分等不同型式的數值，統一基準後進行比較。
| 比較維度 | 指對數型數值 | VS | 根號與分式型 |
|---|---|---|---|
| 轉換策略 | 化為 $10$ 的次方或對數值 | — | 化為小數或平方後比較 |
| 計算核心 | 運用 $\log 2$ 與 $\log 3$ | — | 進行除法或尋找接近平方數 |
| 關鍵判斷 | 定義轉換：$10^a=b \iff \log b=a$ | — | 精確估算出小數點後位數 |
💬不同型式數值應轉化為純數值（如小數）方能精確比較大小。
