第 一 題

給定的信號 $x(t) = u(-2-t) + u(t-2)$，其物理意義為當 $t < -2$ 及 $t > 2$ 時 $x(t) = 1$，其餘區間為 $0$。 此信號可改寫為：$x(t) = 1 - \text{rect}(t/4)$，其中 $\text{rect}(t/4)$ 為在 $t \in [-2, 2]$ 時為 $1$ 的矩形脈衝。

1. 常數 $1$ 的傅立葉轉換為：$\mathcal{F}{1} = 2\pi\delta(\omega)$

已知基本雙邊指數信號 $y(t) = e^{-a|t|}$ 的傅立葉轉換為 $Y(j\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$。 此題中 $a = 2$，故若 $y(t) = e^{-2|t|}$，則其傅立葉轉換為 $Y(j\omega) = \frac{4}{4 + \omega^2}$。 觀察題目 $x(t) = e^{-2|t-1|} = y(t-1)$，為 $y(t)$ 向右平移 $1$ 單位時間。