第 一 題

根據 Biot-Savart 定律，載流導線在空間中 P 點建立的磁通密度為 $d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \hat{R}}{R^2}$。 由圖 1 設定座標，設導線沿 z 軸放置，P 點至導線的垂直距離為 $h$。 積分範圍為角度從 $-\theta_1$ 到 $\theta_2$。由幾何關係，對於微小線段產生之磁場方向均垂直於圖面。

當導線為無限長時，導線兩端點對應至 P 點的視角 $\theta_1$ 與 $\theta_2$ 均趨近於 $90^\circ$（即 $\frac{\pi}{2}$）。 代入 (一) 的結果： $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi h} \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{\mu_0 I}{4\pi h} (1 + 1) = \frac{\mu_0 I}{2\pi h}$。

一正 n 邊形內接於半徑為 $a$ 的圓中，則其中心至任一邊的垂直距離 $h$（弦心距）為 $h = a \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$。 該邊在圓心處所張的兩側半角分別為 $\theta_1 = \theta_2 = \frac{\pi}{n}$。 根據 (一) 之結果，單一邊對圓心貢獻的磁通密度為：