第 一 題

因為中空圓柱磁棒無限長或不考量邊界去磁效應，且系統中無自由電流（$\vec{J}_f = 0$）。 根據安培定律，磁場強度 $\vec{H}$ 在無限長均勻磁化的柱體內部為零（$\vec{H} = 0$）。 磁通密度定義為 $\vec{B} = \mu_0 (\vec{H} + \vec{M})$。

當磁棒置於均勻外加磁場時，因磁棒材質相對磁導率 $\mu_r = 1000$，內部實際磁通密度為 $\vec{B}{in} = \mu_r B_0 \hat{a}_z$ (假設為無限長圓柱使得去磁因子為0)。 磁棒以角速度 $\omega$ 旋轉，半徑為 $\rho$ 處的線速度為 $\vec{v} = \rho \omega \hat{a}\phi$。 導體旋轉切割磁力線產生的動生電動勢電場為：

要求短路電流，必須計算磁棒在徑向的內電阻 $R_{in}$。 考慮長度為 $h$ 的圓柱段，電流由內徑 $a$ 流向外徑 $b$，徑向電阻為： $R_{in} = \int_a^b \frac{d\rho}{\sigma A} = \int_a^b \frac{d\rho}{\sigma (2\pi\rho h)} = \frac{1}{2\pi\sigma h} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$。