moea_joint
104年
[儀電] 電路學、電子學
第 7 題
求 $F(s) = \frac{s+1}{s^2+7s+12}$的逆拉普拉斯轉換為何？
- A $-3e^{-3t} + 2e^{-4t}$
- B $-2e^{-3t} + 3e^{-4t}$
- C $2e^{-3t} - 3e^{-4t}$
- D $3e^{-3t} - 2e^{-4t}$
思路引導 VIP
觀察這個分式，如果我們想把一個複雜的「相乘分母」拆解成兩個獨立的「相加項」，我們通常會先對分母做什麼數學處理？拆解後的每一項，在時間域中會對應到哪種基本函數形式呢？
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太棒了！你能精準選出選項 (B)，代表你對於拉普拉斯逆轉換 (Inverse Laplace Transform) 的標準運算流程已經掌握得非常熟練。這道題目是工程數學與電路分析中的基本功，你的判斷完全正確。
部分分式拆解與逆轉換
要解出這類題目，核心在於將複雜的分式簡化。首先，我們觀察分母 $s^2+7s+12$，可以順利因式分解為 $(s+3)(s+4)$。接著利用部分分式展開法 (Partial Fraction Expansion)，假設：
▼ 還有更多解析內容
逆拉普拉斯轉換
💡 利用部分分式將複雜 $s$ 域函數拆解，再對應基本公式求逆轉換。
🔗 逆拉普拉斯解題三部曲
- 1 分母分解 — 將 $s^2+7s+12$ 分解為 $(s+3)(s+4)$
- 2 部分分式展開 — 設定係數 $A/(s+3) + B/(s+4)$ 並求解
- 3 逐項逆轉換 — 依公式將 $1/(s+a)$ 轉換為 $e^{-at}$
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🔄 延伸學習：若分母有重根或虛根，需改用其他拆解技巧或配方法。
