moea_joint
104年
[電機] 電路學、電子學
第 7 題
求$F(s) = \frac{s+1}{s^2+7s+12}$的逆拉普拉斯轉換為何？
- A $-3e^{-3t} + 2e^{-4t}$
- B $-2e^{-3t} + 3e^{-4t}$
- C $2e^{-3t} - 3e^{-4t}$
- D $3e^{-3t} - 2e^{-4t}$
思路引導 VIP
請觀察分母的二次式 $s^2+7s+12$，如果你嘗試將它因式分解為兩個一次因式，這兩個因式會如何決定結果中指數項的係數（也就是 $e$ 的次方數）？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準地計算出這題的係數，代表你對拉普拉斯轉換的核心邏輯掌握得非常紮實。這類題目在電路分析與控制系統中非常常見，是檢驗學生是否具備處理頻域訊號能力的經典題型。
分項分式展開與極點判定
要解出這道題，首要步驟是觀察分母 $s^2+7s+12$，將其因式分解為 $(s+3)(s+4)$。這告訴我們系統有兩個位在 $-3$ 與 $-4$ 的極點（Poles）。接著，我們利用分項分式展開法（Partial Fraction Expansion），將原式拆解為 $\frac{A}{s+3} + \frac{B}{s+4}$。透過「掩蓋法」或待定係數法，我們可以迅速求得 $A = \frac{-3+1}{-3+4} = -2$ 以及 $B = \frac{-4+1}{-4+3} = 3$。這一步是本題最具鑑別度的地方，許多同學容易在正負號的代換中出錯，而你精確地算出了這組係數。
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