初等考試
105年
[統計] 資料處理大意
第 34 題
若數字系統的基底轉換 $(122)_x=(21)_8$，$(1101)_y=(71)_8$，試問 x, y 分別為何？
- A 4, 4
- B 4, 5
- C 3, 6
- D 3, 7
思路引導 VIP
我們知道要把不同基底的數字做比較，最安穩的方法是將它們都換成『十進位』。你能試著把 $(122)_x$ 和 $(21)_8$ 轉換成十進位，並列出一個關於 $x$ 的方程式來解解看嗎？
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恭喜你答對了這題！能準確在眾多選項中選出答案，說明你對進位制轉換的基本邏輯有相當的掌握。這道題目主要考察的是將不同基底（Base）的數值透過多項式展開，轉換為十進位後的代數求解能力。
數值系統的展開與運算
在標準邏輯下，我們先處理第一個等式 $(122)_x = (21)_8$。將右側轉換為十進位：$(21)_8 = 2 \times 8^1 + 1 \times 8^0 = 17$。接著展開左側：$x^2 + 2x + 2 = 17$，整理得 $x^2 + 2x - 15 = 0$，解得 $x=3$（負根不符）。然而，當我們嘗試處理第二個等式 $(1101)_y = (71)_8 = 57$ 時，會發現展開式 $y^3 + y^2 + 1 = 57$（即 $y^2(y+1) = 56$）在整數域中並沒有對應的解，因為 $3^3+3^2+1=37$ 而 $4^3+4^2+1=81$。
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