第 一 題

當需要比較兩個單位不同或平均數差異較大的測驗其離散程度（個別變異）時，不能直接比較標準差。應使用「變異係數 (Coefficient of Variation, CV)」來消除平均數的影響，藉此比較相對變異的大小。

判斷不同科目的表現優劣不能只看原始分數，必須將其轉換為標準分數（如 Z 分數）才能比較相對位置。先分別計算小華在語文和數學的 Z 分數，再比較兩者大小以推論其真實表現差異。

看到「線性轉換」，應立刻聯想其對相關係數的影響（正向線性轉換不改變相關係數大小與方向）。接著利用 T 分數的固定標準差（SD=10），搭配共變數與相關係數的轉換公式 Cov(X,Y) = r × SD_X × SD_Y 即可求得答案。

看到「百分等級為 50」，應立刻聯想到該分數在統計上對應的就是「中位數」。找出數學科的中位數作為小美的原始分數後，先計算出 Z 分數，再代入 T 分數公式（T = 10Z + 50）即可得出答案。

看到「常態化標準分數」，要立刻警覺不能使用一般的線性公式 $Z=(X-M)/SD$。必須先找出該分數的百分等級（PR），再對應常態分配的 Z 值。觀察小明得分 37 分，剛好是題幹給定的「中位數」，這就是破題的唯一鑰匙。