普考申論題 105年 [教育行政] 教育測驗與統計概要

第一題

📖 題組：
某教師月考後計算全班英文成績之標準差與平均值，該班學生 35 人，得平均值為 62.5，標準差為 7.25，中位數為 65。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請問從上述數據，假設該班成績為單峰分配，你推測該班英文成績分配應呈那種偏態？為什麼？（10 分）

考生看到此題應立刻聯想到「集中量數與偏態」的關係。在單峰分配下，比較「平均數」與「中位數」的大小，平均數易受極端值影響而偏移，若平均數小於中位數，即代表受極端低分影響，為負偏態（左偏態）。

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【解題關鍵】利用集中量數（平均數與中位數）在單峰分配中的大小關係，判斷次數分配曲線的偏態方向。【解析】一、已知數據

樣本平均數的抽樣分配之平均值與標準差各為多少？（10 分）

看到「樣本平均數的抽樣分配」，應立刻連結到「中央極限定理」與「標準誤」的概念。抽樣分配的平均值即等於母體平均數（實務上以樣本平均數作為不偏估計量）；抽樣分配的標準差又稱標準誤，公式為「標準差除以樣本數的平方根（S/√N）」。注意題目中的中位數為多餘的干擾資訊。

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【解題關鍵】運用抽樣分配理論與標準誤公式，抽樣分配的平均值估計同於樣本平均數，其標準差（標準誤）為樣本標準差除以 √N。【解答】已知條件：樣本數 $N = 35$、樣本平均數 $\bar{X} = 62.5$、樣本標準差 $S = 7.25$（中位數 65 為解題干擾資訊，無需使用）。

後來，學校認為該次月考平均分數太低，決定每個學生都加 5 分，請問該班平均值與標準差會變為多少？（5 分）

看到「全班加減固定分數」，立刻聯想「分數線性轉換（Y = X + C）」的統計特性。集中量數（如平均數）會跟著加減該常數，但差異量數（如標準差）代表資料的離散程度，全體平移並不會改變數值間的相對距離，故標準差保持不變。

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【解題關鍵】分數的線性轉換特性：若新分數 Y = X + C（C 為常數），則新平均數 Ȳ = X̄ + C，新標準差 Sy = Sx。【解答】已知條件整理：