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普考申論題 105年 [工業工程] 工程統計學與品質管制概要

第 一 題

📖 題組：
假設工程師針對一個製程，在固定間隔的時間抽取樣本數 n = 4 個產品，對每次抽樣進行品質特性的量測後計算平均值與 R 的值。在 50 次抽樣後，得到 \sum_{i=1}^{50} \bar{x}_i = 2550 以及 \sum_{i=1}^{50} R_i = 200 假設品質特性為常態分配，且查表可得以下各係數： A2=0.729， A3=1.628， B3=0， B4=2.266， c4=0.9213， d2=2.059， D3=0， D4=2.282。 (一)請計算 \bar{X} 及 R 管制圖的管制界限。（10 分） (二)如果規格界限為 50 ± 5，請計算並評論製程能力指標 Cp，Cpk 和 Cpm。（15 分） (三)假如產品超出規格上限，則可以重工；而如果低於規格下限，則必須廢棄。請計算廢品與重工品的比例。（5 分） (四)請提供製程如何改善的建議。（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (一)

請計算 $\bar{X}$及 R 管制圖的管制界限。（10 分）

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本題重點在於運用給定的樣本數據總和與管制圖係數，先求出總平均 (X雙bar) 與平均全距 (R bar)。接著，直接代入 X bar 管制圖與 R 管制圖的管制界限公式（運用 A2, D3, D4 係數）即可輕鬆取分。

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【解題關鍵】先計算出總平均（$\bar{\bar{X}}$）與平均全距（$\bar{R}$），再利用樣本數 $n=4$ 對應的查表係數 $A_2, D_3, D_4$ 代入 $\bar{X}-R$ 管制圖標準公式即可。 【解答】 Step 1：計算製程總平均與平均全距

小題 (二)

如果規格界限為 50 ± 5，請計算並評論製程能力指標 Cp，Cpk 和 Cpm。（15 分）

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考生看到此題應先由題幹提供的總和求出總平均數(X-double-bar)與全距平均數(R-bar)，再利用 d2 常數估計製程標準差(sigma)。接著代入 Cp、Cpk、Cpm 的公式進行計算，並根據指標是否大於1以及其間的差異，評論製程的變異大小與偏移狀況。

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【解題關鍵】利用 $\hat{\sigma} = \frac{\bar{R}}{d_2}$ 估計製程標準差，並代入 $C_p$、$C_{pk}$、$C_{pm}$ 公式計算，依據指標數值大小（是否大於1）及差異進行製程能力評論。 【解答】 計算：

小題 (三)

假如產品超出規格上限，則可以重工；而如果低於規格下限，則必須廢棄。請計算廢品與重工品的比例。（5 分）

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先利用已知數據估計製程之母體平均數與標準差。接著，進行標準化（Z轉換）並查表計算低於規格下限（廢品）與高於規格上限（重工品）的常態機率值，最後根據製程中心偏移現象提出具體之改善對策。

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【解題關鍵】利用製程平均數與標準差之估計值對規格界限進行 Z 轉換以求取常態機率，並針對平均數偏移提出製程調整對策。 【解答】 (三) 廢品與重工品比例計算：

小題 (四)

請提供製程如何改善的建議。（5 分）

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看到這題，應先回顧前小題的隱含計算結果：製程平均值（51）偏離目標值（50），且潛在製程能力（Cp 約 0.86）低於標準 1.0。因此，改善建議必須層次分明，短期先「調整製程平均值」以對準目標，長期再「降低製程變異」以全面提升製程能力。

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【破題】根據前述製程能力指標的分析，目前製程存在「平均值偏離目標值（51 > 50）」以及「製程變異過大（Cp = 0.858 < 1.0）」兩大根本問題，故製程改善建議應從此兩個維度著手。 【論述】 一、 短期改善對策：調整製程平均值（Process Centering）

📜 參考法條

附表一 標準常態分配表

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