普考申論題
109年
[工業工程] 工程統計學與品質管制概要
第 一 題
📖 題組：
利用 $\bar{X}-R$ 管制圖管制某製程，其樣本大小n=4。主要品質特性之規格為100±5，在蒐集25組樣本後，獲得$\sum \bar{X}_i = 2525$以及$\sum R_i = 102.95$。假設品質特性為常態分配，且製程已在管制狀態（in SOSC），n= 4查表可得以下各係數： A2=0.729，B3=0，B4=2.266，c4=0.9213，d2=2.059，D3=0，D4=2.282。
利用 $\bar{X}-R$ 管制圖管制某製程，其樣本大小n=4。主要品質特性之規格為100±5，在蒐集25組樣本後，獲得$\sum \bar{X}_i = 2525$以及$\sum R_i = 102.95$。假設品質特性為常態分配，且製程已在管制狀態（in SOSC），n= 4查表可得以下各係數： A2=0.729，B3=0，B4=2.266，c4=0.9213，d2=2.059，D3=0，D4=2.282。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請求出α=0.01的平均值（ $\bar{X}$ ）管制圖之機率管制界限。（12分）
思路引導 VIP
看到「機率管制界限」與指定的型I錯誤率 α，應立刻想到不使用傳統的 3 倍標準差管制界限，而是透過標準常態分配查表找出對應的 Z 值。解題關鍵在於先計算總平均（中心線）與估計標準差，最後代入 UCL/LCL = X-bar-bar ± Z_{α/2} * (σ / √n) 求解。
小題 (二)
請求出此製程之Cp及Cpk。（8分）
思路引導 VIP
計算製程能力指標 Cp 與 Cpk 前，需先求出製程平均數 μ 與標準差 σ 的估計值。利用給定的總和數據算出總平均作為 $\hat{\mu}$，並以 $\bar{R}/d_2$ 估計 $\hat{\sigma}$，最後代入 Cp 與 Cpk 的定義公式即可求解。
小題 (三)
若製程標準差增加0.2倍，且平均數移動至102.8，試計算此時平均值（ $\bar{X}$ ）管制圖之型II誤差。（15分）
思路引導 VIP
本題考查管制圖的型II誤差（β誤差）計算。解題需分三步：首先利用已知數據與查表係數算出原製程的平均數、標準差及 X-bar 管制圖的上下限；接著，根據題意更新製程平均數偏移與標準差放大後的新參數；最後，計算在新分配下，樣本平均值落在『原管制界限』內的機率，過程需進行標準常態（Z）轉換並查表。
📜 參考法條
附表：標準常態累加機率值表