第 三 題

本題測驗「無母數統計」中的斯皮爾曼等級相關係數。首先，不要被前面算出的巨額數字迷惑，等級相關係數只看資料的「排名」。步驟如下：1. 將微積分成績（X）由小到大（或大到小）給予排名 $R_x$。2. 將統計學成績（Y）依同邏輯給予排名 $R_y$。3. 算出每一對資料排名的差值 $d_i = R_{xi} - R_{yi}$。4. 代入公式 $1 - [6\sum d_i^2 / n(n^2-1)]$。仔細觀察兩組資料的排名，你會發現一個有趣的現象，這將大幅簡化計算。

看到求「相關係數」，馬上聯想到皮爾森積差相關係數（Pearson correlation coefficient）公式。題目已經非常好心地給了所有的總和（$\sum x, \sum y, \sum x^2, \sum y^2, \sum xy$）以及樣本數 $n=5$。解題步驟就是將這些已知數值代入離均差交乘積和（$SS_{xy}$）與平方和（$SS_{xx}, SS_{yy}$）的計算式中，最後求出 $r$ 值。這是標準代入公式題。

由「推估」兩字可知，這是在求簡單線性迴歸方程式（$\hat{y} = b_0 + b_1 x$）。題目指定「以微積分（X）推估統計學（Y）」，所以 X 是自變數，Y 是應變數。計算順序必定是先求出斜率 $b_1 = SS_{xy} / SS_{xx}$，接著利用迴歸直線必通過樣本平均數點 $(\bar{x}, \bar{y})$ 的特性，計算出截距 $b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$。所需的所有 $SS$ 值在上一題皆已算出，直接沿用即可。