高考申論題 105年 [化學工程] 輸送現象與單元操作

第三題

📖 題組：
有關幫浦(pump)功率計算方程式,請回答下列問題:

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (三)

寫出上項推導時,所做之三個重要假設。(6分)

看到此題應立刻聯想由「熱力學第一定律（總能量平衡）」推導至「機械能平衡方程式（延伸柏努利方程式）」的簡化過程。回想如何消去方程式中的時間微分項、如何將密度提出積分號外，以及如何處理進出口截面變數，即可對應出穩態、不可壓縮與一維流動等關鍵假設。

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推導幫浦（pump）功率計算方程式（即機械能平衡方程式或延伸柏努利方程式）時，通常基於以下三個重要假設：

穩態操作（Steady-state flow） 假設系統內部無質量與能量的累積，流體隨時間的變化率為零，即進出系統的質量流率（$\dot{m}$）為常數。

寫出下列方程式各符號(Wp, Ha, H♭與η)的意義。(8分)
Wp = (Hb - Ha) / η = ΔH / η

看到此題，應立即聯想到流體力學中的機械能平衡（Mechanical Energy Balance）與幫浦系統的能量轉換。答題關鍵不僅是寫出中文名稱，必須精確描述其「物理意義」（如能量變化、效率轉換）並附上標準的工程「單位」（如 J/kg 或 m），以展現專業度。

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本方程式描述了流體流經幫浦時的機械能平衡關係，各符號的物理意義與單位如下：

Wp (Pump shaft work, 幫浦軸功) 指由馬達傳遞給幫浦軸的實際機械能，即驅動幫浦所需的總能量輸入。其物理意義為考量了幫浦內部機械摩擦與流體摩擦耗損後，外界必須提供給幫浦的總功。常見單位為 $J/kg$ (單位質量的能量) 或 $m^2/s^2$；若方程式同乘質量流率，則為 $W$ (瓦特，功率)。

寫出上列方程式係如何從下列方程式推導得到。(18分)
δQ/dt - δWs/dt = ∫cs ρ(e + P/ρ) (v·n)dA + ∫cv ρ(∂e/∂t)dV

這是一道將「巨觀總能量守恆積分式」化簡為工程實用「機械能平衡方程式（幫浦功率計算式）」的經典推導題。解題關鍵在於明確列出穩態、不可壓縮流、單一出入口等假設，並將熱力學第一定律中的熱傳與內能變化結合為流體摩擦損耗項，逐步完成代數變換並定義所有符號的物理意義。

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【解題思路】利用穩態、不可壓縮及單一出入口等工程假設，將巨觀能量守恆積分式展開，並引入摩擦損耗概念推導出機械能平衡方程式與幫浦功率公式。【詳解】已知巨觀能量守恆積分方程式為：

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