高考申論題 105年 [天文] 近代物理

第一題

📖 題組：
9個電子被束縛在一個長寬高(x, y, z)皆為L的方形盒子,假設電子間沒有相互作用,但必須考慮電子的自旋。試問:

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

解出單電子的駐波解。(8分)

看到此題應立即聯想「三維無限深方形位能井」模型。利用定態薛丁格方程式，透過分離變數法將三維問題拆解為三個一維問題，再配合邊界條件（邊界處波函數為零）求出各維度的駐波解與歸一化常數。

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【解題思路】利用三維無限深方形位能井的薛丁格方程式，透過分離變數法並代入邊界條件以求得空間波函數。【詳解】已知：單個電子被束縛在邊長為 $L$ 的三維方形盒子內。盒子內部位能 $V(x,y,z) = 0$ ($0 < x, y, z < L$)，盒子外部位能為無限大 $V \to \infty$。

求這個系統的基態能量。(7分)

分析三維無限深方形位能井的單粒子能階分佈與簡併度。接著利用包立不相容原理（Pauli exclusion principle），考慮電子自旋後將9個電子由最低能階依序填入，最後加總各電子的能量即可求得系統基態總能量。

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【解題思路】利用三維無限深方形位能井的能階公式，並結合包立不相容原理（每個空間量子態最多容納兩個自旋相反的電子），由低至高能階依序填入9個電子計算總和。【詳解】已知：三維邊長為 $L$ 的無限深方形位能井，單一電子的能階公式為：

如果有一x方向的小磁場B加在這個系統,則基態能量變為何?(5分)

本題測驗「三維無限深方形位能井」的能階分佈、包立不相容原理（電子填軌道）以及「外加磁場下的自旋塞曼效應」。解題時先算出無磁場下9個電子依序填入各能階的基態總能量，再考慮磁場對唯一未成對電子的自旋磁矩所造成的能量下降。

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【解題思路】利用包立不相容原理將9個電子依序填入三維方形位能井能階，計算無磁場時的總能量；接著引入外加磁場造成的自旋磁矩交互作用，找出使系統能量最低的自旋組態。【詳解】已知條件與基本公式：