高考申論題
108年
[天文] 近代物理
第 一 題
📖 題組：
一、(一)利用德布羅意（de Broglie）物質波的關係式，推導出電子在氫原子中的角動量 L 所滿足的波爾（Bohr）條件，即 L = nh/2 π，其中 n 為正整數。（7 分） (二)使用波爾條件推導出氫原子的電子能態公式，即 En = - mee^4/8εo^2h^2n^2。（7 分） (三)要完全指定氫原子的量子狀態，還需要那些額外的量子數及其量化的物理量？（6 分）
一、(一)利用德布羅意（de Broglie）物質波的關係式，推導出電子在氫原子中的角動量 L 所滿足的波爾（Bohr）條件，即 L = nh/2 π，其中 n 為正整數。（7 分） (二)使用波爾條件推導出氫原子的電子能態公式，即 En = - mee^4/8εo^2h^2n^2。（7 分） (三)要完全指定氫原子的量子狀態，還需要那些額外的量子數及其量化的物理量？（6 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
利用德布羅意（de Broglie）物質波的關係式，推導出電子在氫原子中的角動量 L 所滿足的波爾（Bohr）條件，即 L = nh/2 π，其中 n 為正整數。（7 分）
思路引導 VIP
看到本題應直覺聯想到「物質波」與「駐波條件」的結合。欲使電子在圓形軌道上穩定運行而不產生破壞性干涉，其軌道周長必須等於德布羅意波長的整數倍（2πr = nλ）。利用此幾何條件結合古典角動量定義（L = pr）即可推導出波爾條件。
小題 (二)
使用波爾條件推導出氫原子的電子能態公式，即 En = - mee^4/8εo^2h^2n^2。（7 分）
思路引導 VIP
本題測驗波耳氫原子模型的核心推導。解題時應先建立力學平衡方程式（庫侖引力等於向心力）與波耳角動量量子化條件，聯立解出量化的軌道半徑。最後將半徑代入總能量公式（動能加位能），即可得出電子的能態公式。
小題 (三)
要完全指定氫原子的量子狀態，還需要那些額外的量子數及其量化的物理量？（6 分）
思路引導 VIP
考生應回想三維薛丁格方程式解出的氫原子波函數，除了主量子數 n 決定能階外，還包含了角度部分的解。同時，必須考慮電子的內稟性質（自旋）才能完全決定量子態。作答時需精確列出三個額外量子數的名稱、符號及其對應量化的物理量公式（如軌域角動量的大小與其空間分量）。
氫原子角動量量子化
💡 電子物質波在軌道形成駐波，是角動量量子化的物理本質。
🔗 角動量量子化推導邏輯鏈
- 1 物質波公式 — λ = h/p (連結波動與粒子性)
- 2 幾何駐波條件 — 2πr = nλ (確保波函數不互相抵消)
- 3 公式代換 — 將 λ = h/p 代入 2πr = nλ
- 4 角動量量子化 — 整理出 L = pr = nh/2π
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🔄 延伸學習：延伸學習：從此公式可進一步導出氫原子的能階量子化 En。
