高考申論題 112年 [天文] 近代物理

第一題

📖 題組：
三、(一)請寫下波耳氫原子模型的重要假設。（4分） (二)試推導出氫原子的能量與波耳半徑，以物理量表示之，並指出氫原子的能量量子化。（15分） (三)試求類氫原子Li2+的基態半徑大小。（6分）

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請寫下波耳氫原子模型的重要假設。（4分）

解答此題需回顧古典物理在原子模型上的困境，進而帶出波耳提出的三大突破性假設。作答時應以條列方式呈現，並務必寫出「角動量量子化」與「躍遷輻射」的對應數學公式以展現物理推導的嚴謹度。

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波耳氫原子模型主要建立於以下三大核心假設：

定態假設 (Stationary States) 電子僅能在特定半徑的圓軌道上繞原子核運動；處於這些特定軌道（定態）時，電子狀態穩定，不受古典電磁學預測的限制，不會輻射電磁波而喪失能量。

試推導出氫原子的能量與波耳半徑，以物理量表示之，並指出氫原子的能量量子化。（15分）

本題核心在於結合「古典力學」與「量子假設」。首先利用庫侖力提供向心力建立力學方程式，接著引入波耳的角動量量子化假設 ($L=n\hbar$)。聯立兩式即可解得波耳半徑與速率，最後代入總能公式 ($E=K+U$) 並說明主量子數 $n$ 如何導致能量呈現離散的量子化狀態。

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【解題思路】結合牛頓力學的等速率圓周運動方程式與波耳角動量量子化假設，聯立解出半徑，再代入系統總力學能公式進行推導。【詳解】已知：

試求類氫原子Li2+的基態半徑大小。（6分）

看到「類氫原子半徑」，應立刻回想波耳模型的半徑公式 $r_n = \frac{n^2}{Z} a_0$。確認題意條件：鋰 (Li) 的原子序 $Z=3$，基態表示主量子數 $n=1$，代入公式與氫原子波耳半徑數值計算，並轉換為標準單位即可得解。

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【解題思路】利用類氫原子的波耳半徑公式，結合原子序與主量子數的關係進行求解。【詳解】已知：