高考申論題
106年
[天文] 近代物理
第 三 題
三、無限深位勢井（infinite potential well，又稱盒內粒子，particle in a box）問題，所指
的是粒子在井內位勢為 0，在井外位勢為無限大的問題。現有正方形（長、寬為L）
無限深位勢井，求一粒子（質量為m）在這位勢井的能階。請寫下基態、第一、二、
三激發態之能量，並標示其是否為簡併態。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到二維無限深位勢井，應立刻想到利用分離變數法將定態薛丁格方程式化為兩個一維問題的疊加。能階將是兩個維度獨立能量之和（量子數 $n_x, n_y$ 皆從 1 開始），當不同的量子數組合產生相同的總能量時，即形成簡併態（degenerate state）。
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【解題思路】利用二維定態薛丁格方程式與分離變數法，推導出正方形無限深位勢井的能階公式，並依據量子數組合判斷各激發態的能量與簡併度。 【詳解】 已知：粒子質量為 $m$，身處長寬均為 $L$ 的二維正方形無限深位勢井中。
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