第 一 題

首先需確認波函數的邊界條件以界定積分範圍。由給定的基態波函數 $\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cos(\frac{\pi x}{L})$ 邊界為零的特性可知，位井區間必定為對稱的 $[-L/2, L/2]$。接著代入期望值定義式 $\langle x \rangle = \int \psi^* x \psi , dx$，利用被積分函數的奇偶性可迅速得出結果，無需進行複雜的三角積分。

本題的解題關鍵在於「由波函數形式判斷座標系」。由於基態波函數為餘弦函數 $\cos(\frac{\pi x}{L})$，可知其邊界條件在 $x = \pm L/2$ 處為零，故積分區間必須設定為 $[-L/2, L/2]$。接著代入位置期望值定義 $\int x^2 |\psi|^2 dx$，並搭配半角公式與分部積分法展開計算即可求解。

計算動量期望值需使用動量算符 $\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$ 代入期望值積分公式。此外，也可運用物理直覺與數學對稱性來判斷：波函數為實函數代表駐波狀態（無淨粒子流），且被積函數為奇函數，對稱區間積分必為零。

本題測驗量子力學中物理量期望值的計算。看到動量平方期望值 $\langle p^2 \rangle$，應直覺想到利用動量平方算符 $\hat{p}^2 = -\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2}$ 作用於波函數進行積分；或透過無限深位井內能量與動量的關係 $\langle p^2 \rangle = 2mE$ 直接推導以快速驗證答案。

這道題測驗對不準度（標準差）定義的掌握以及海森堡不確定性原理的驗證。解題關鍵在於直接代入統計學中標準差的公式 $\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2}$，結合前四個小題所求得的期望值，計算出位置與動量的不準度，最終相乘化簡即可。